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光
大题优练11
优选例题
例1.大部分高层建筑都会采用玻璃幕墙,玻璃幕墙美观大方,也提高了建筑内的采光率,玻璃幕墙一般都是用中空玻璃,如图所示。某一玻璃幕墙其剖面及尺寸示意图如右图所示,双层中空玻璃由两层玻璃加密封框架,形成一个夹层空间,隔层充入干燥空气,每单层玻璃厚度d=12 mm,夹层宽度l=18 mm,一光束沿与玻璃竖直面成i=53°从墙外经双层中空玻璃射入室内(光束与玻璃剖面在同一平面上),光线通过玻璃后入射光线与出射光线会有一个偏移量(两光线垂直距离),玻璃折射率n=,光在空气中的速度近似为c=3.0×108 m/s,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:(结果两位有效数字)
(1)这束光通过中空玻璃从室外到室内的偏移量h;
(2)这束光通过中空玻璃从室外到室内的时间t。
【解析】(1)画出这束光的光路图如图所示,根据折射定律:
n=
由几何关系可知光束进入第一层玻璃的偏移量
这束光通过每层玻璃的偏移量相等,所以从室外到室内的偏移量
联立解得:。
(2)光在玻璃内的传播速度v=
,
联立解得:。
例2.如图所示为某种透明介质制成的棱镜,其截面是一个等腰三角形ABC,∠A=30°,AB边的长度为L,有一束单色光以平行于AC边的方向从AB边上距离A点L处的M点射入棱镜,从N点(未画出)射出,已知该棱镜的折射率n=,真空中的光速为c。
(1)请通过计算确定N点的位置,并画出光路图;
(2)计算光线在棱镜中传播的时间。
【解析】(1)由几何关系可知,光线在M点的入射角∠1=60°,由折射定律
解得∠2=30°
光线在M点经过折射后,射向AC边上的P点,三角形AMP为等腰三角形
AP=2AMcos 30°=L
由几何关系可知,光线在P点的入射角∠3=60°,由于sin∠3=
故光线在P点发生全反射,光线在P点经过全反射后,射向BC边上的Q点
由几何关系可知PQ∥AB,三角形PCQ为等腰三角形
同理,由几何关系可知,光线在Q点的入射角∠4=60°,光线在Q点也发生全反射光线在Q点经过全反射后,射向AB边上的N点,三角形NBQ为等腰三角形,光线在N点的入射角∠5=30°,由于sin∠5=,故光线将从AB边上的N点射出棱镜,由对称性可知
光路图如图所示。
(2)光线在棱镜内传播的速度v==c
光线在棱镜内传播时间。
模拟优练
1.如图,某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点),然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上,小标记位于AC边上。D位于AB边上,过D点作AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察。恰好可以看到小标记的像;过O点作AB边的垂线交直线DF于E;DE=2 cm,EF=1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)
【解析】过D点作AB边的垂线NN′,连接OD,则∠ODN=α为O点发出的光线在D点的入射角;设该光线在D点的折射角为β,如图所示。
根据折射定律有nsin α=sin β①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知β=60°②
∠EOF=30°③
在△OEF中有EF=OEsin∠EOF④
由③④式和题给条件得OE=2 cm⑤
根据题给条件可知,△OED为等腰三角形,有α=30°⑥
由①②⑥式得n=。⑦
2.直角三角形的玻璃砖的横截面如图甲所示,∠ABC=30°,一束单色光垂直AC边的某一位置射入玻璃砖,在BC边发生全反射后从AB边射出,出射光线与AB边成45°角。
(1)求该玻璃砖的折射率;
(2)若取用三角形玻璃砖介质制成环状玻璃砖,如图乙所示,内径为R、外径R'=R,圆心为O。一束平行于水平轴O'O的光线由A点进入玻璃砖,到达内圆周表面B点(图中未标出)刚好发生全反射,求A点处光线与水平轴O'O间的距离。
【解析】(1)由光路图可知,光线射到面上时的入射角为,折射角为,则
折射率。
(2)光线沿方向射向内球面,刚好发生全反射,在B点的入射角等于临界角C,在中,,
由正弦定理得
可得
则有A点处光线的折射角
在A点,由得A点处光线的入射角
。
3.一个用特种材料制成的透明玻璃体的横截面如图所示,上部是半径为R的半圆,O为圆心,AD为直径,下部ABCD为一长方形,AB长度为R,EF为过玻璃体的中轴线且过O点,E点为一点光源,从上向下看弧AFD上照亮的部分占半圆弧的,求:
(1)透明玻璃体的折射率n;
(2)若将E点的点光源移去,改用宽度为2R、平行于轴线EF的平行光从BC边射入,求从上向下看弧AFD上照亮的部分占半圆弧的比例K。
【解析】(1)如图,当光线在弧AFD面上发生全反射时就没有光线出射,设EM、EN入射光在弧AFD面上恰好发生全反射,则入射角均为临界角C,OM、ON为法线,所以角∠OME、∠ONE均为临界角C,从上向下看弧AFD上照亮的部分占半圆弧的,则照亮部分圆弧所对的圆心角为∠MON=120°、∠FON=60°,根据对称性∠FOM=60°,三角形ONE为等腰三角形,则光线在弧AD面上入射角∠ONE=30°,则临界角C=30°
sin C==
解得n=2。
(2)若用平行光从BC边射入,临界角C为30°,所以当入射角为30°时恰好发生全反射,光不能射出,如图所示,由几何关系,则能射出光的部分所对应的圆心角为60°,则从上向下看弧AFD上照亮的部分占半圆弧的比例
4.如图所示,一束平行单色光从空气垂直入射到等腰三棱镜的AB面上,AB和AC边长相等,顶角θ=30°,底边BC长为L,三棱镜对这种单色光的折射率n=。在三棱镜右侧有一足够大的竖直光屏垂直于BC,光屏到C点的距离为4L。求光屏上光斑的最高点和最低点之间的距离。(不考虑光线在棱镜中的二次反射,tan 15°=2-,结果可以带根号)
【解析】由题意可知sin C=
可解得,光线射入三棱镜后,在边的入射角为,不会发生全反射,设射出边时的出射角为i,根据折射定律得
解得
如图所示,射到光屏上最低点的位置为。由几何关系可知,
故
光线在边的入射角为,大于全反射的临界角,会发生全反射,由题意可知,从边全反射的光线中射到光屏上最高点的位置为。由几何关系可知,
故
所以,光屏上光斑的最高点和最低点之间的距离为。
5.如图所示,半圆形玻璃砖的半径为R,CD为直径,O为圆心,对称轴O'O垂直于CD,在玻璃砖的右侧放置一个完全相同的另一玻璃砖,已知C'D' //CD。位于A点的光源发出一束与O'O平行的单色光,射向玻璃砖上的B点,经玻璃砖折射后,从P点沿与CD成θ=30°角的方向射出。光线射入另一玻璃砖表面的M点后,最后在玻璃砖内表面E点(图中未画出)恰好发生全反射。已知AO平行于CD,AO'=R,AB=R,光在真空中的传播速度为c。求:
(1)光从A点传播到P点所经历的时间;
(2)已知O为右玻璃砖的圆心,也在O'O的直线上,求M点到OO"的距离。
【解析】(1)光从A点射出后经B点到P点的光路如图所示,在△BOH中有
解得i1=60°
因为θ=30°,故γ2=60°
由光路的可逆性可知i2=γ1
由几何知识得i2+γ1=60°
则i2=γ1=30°
故
光在玻璃中的传播速度为
由几何知识可知
光从A点传播到P点经历的时间为。
(2)如图所示,从M点射入右侧玻璃砖的光线,入射角i3=γ2=60°
根据折射定律可知
解得γ3=30°
光线在E点发生全反射,则
在△O″ME中,由正弦定理得
解得O″M=R
所以M点到轴线OO″的距离为R。
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