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第3讲 力的合成与分解
目标要求 1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力.2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力.3.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的区别.
考点一 共点力的合成
基础回扣
1.合力与分力
(1)定义:如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同,这个力叫作那几个力的合力,那几个力叫作这个力的分力.
(2)关系:合力与分力是等效替代关系.
2.力的合成
(1)定义:求几个力的合力的过程.
(2)运算法则
①平行四边形定则:求两个互成角度的分力的合力,可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向.如图1甲所示,F1、F2为分力,F为合力.
图1
②三角形定则:把两个矢量的首尾顺次连接起来,第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量.如图乙,F1、F2为分力,F为合力.
技巧点拨
1.共点力合成的方法
(1)作图法.
(2)计算法:根据平行四边形定则作出力的示意图,然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力.
2.合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围:|F1-F2|≤F≤F1+F2.
①两个力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小.
②合力的大小不变时,两分力随夹角的增大而增大.
③当两个力反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两个力同向时,合力最大,为F1+F2.
(2)三个共点力的合力范围
①最大值:三个力同向时,其合力最大,为Fmax=F1+F2+F3.
②最小值:以这三个力的大小为边,如果能组成封闭的三角形,则其合力的最小值为零,即Fmin=0;如果不能,则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和,即Fmin=F1-(F2+F3)(F1为三个力中最大的力).
例1 如图2甲所示,射箭时,释放箭的瞬间若弓弦的拉力为100 N,对箭产生的作用力为120 N,其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示,对箭产生的作用力如图中F所示,则弓弦的夹角α应为(cos 53°=0.6)( )
图2
A.53° B.127° C.143° D.106°
答案 D
解析 弓弦拉力的合成如图所示,
由于F1=F2,
由几何知识得2F1cos =F,
有cos ==0.6,所以=53°
即α=106°,故D正确.
1.(作图法求合力)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用,三力的矢量关系如图3所示(小方格边长相等),则下列说法正确的是( )
图3
A.三力的合力有最大值F1+F2+F3,方向不确定
B.三力的合力有唯一值3F3,方向与F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3,方向与F3同向
D.由题给条件无法求合力大小
答案 B
解析 先以力F1和F2为邻边作平行四边形,其合力与F3共线,大小F12=2F3,如图所示,F12再与第三个力F3合成求合力F合,可得F合=3F3,故选B.
2.(合力的范围)有三个力,分别为12 N、6 N、7 N,则关于这三个力的合力,下列说法正确的是( )
A.合力的最小值为1 N
B.合力的最小值为零
C.合力不可能为20 N
D.合力可能为30 N
答案 B
3.(力的合成的应用)(2020·全国卷Ⅲ·17)如图4,悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;绳的一端固定在墙上,另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连.甲、乙两物体质量相等.系统平衡时,O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α=70°,则β等于( )
图4
A.45° B.55° C.60° D.70°
答案 B
解析 取O点为研究对象,在三力的作用下O点处于平衡状态,对其受力分析如图所示,FT1=FT2,两力的合力与F等大反向,根据几何关系可得2β+α=180°,所以β=55°,故选B.
考点二 力的分解的两种常用方法
基础回扣
1.力的分解是力的合成的逆运算,遵循的法则:平行四边形定则或三角形定则.
2.分解方法:
(1)按力产生的效果分解;(2)正交分解.
如图5,将结点O受力进行分解.
图5
3.矢量和标量
(1)矢量:既有大小又有方向的物理量,叠加时遵循平行四边形定则,如速度、力等.
(2)标量:只有大小没有方向的物理量,求和时按代数法则相加,如路程、速率等.
技巧点拨
1.力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向.
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形.
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向.
2.力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则:在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上);在动力学中,往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系.
(2)多个力求合力的方法:把各力向相互垂直的x轴、y轴分解.
x轴上的合力Fx=Fx1+Fx2+Fx3+…
y轴上的合力Fy=Fy1+Fy2+Fy3+…
合力大小F=
若合力方向与x轴夹角为θ,则tan θ=.
效果分解法
例2 (多选)(2018·天津卷·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可.一游僧见之曰:无烦也,我能正之.”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身.假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图6所示,木楔两侧产生推力FN,则( )
图6
A.若F一定,θ大时FN大
B.若F一定,θ小时FN大
C.若θ一定,F大时FN大
D.若θ一定,F小时FN大
答案 BC
解析 根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力FN,如图所示
则=sin
故FN=,
所以当F一定时,θ越小,FN越大;当θ一定时,F越大,FN越大,故选项B、C正确,A、D错误.
正交分解法
例3 建筑装修中,工人用质量为m的磨石对倾角为θ的斜壁进行打磨(如图7所示),当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时,磨石恰好沿斜壁向上匀速运动,已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则磨石受到的摩擦力大小是( )
图7
A.(F-mg)cos θ
B.(F-mg)sin θ
C.μ(F-mg)cos θ
D.μ(F-mg)tan θ
答案 A
解析 磨石受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力作用而处于平衡状态,由图可知,F一定大于重力mg;先将重力及向上的推力合成后,将二者的合力沿垂直于斜壁方向及平行于斜壁方向分解,则在沿斜壁方向上有Ff=(F-mg)cos θ,在垂直斜壁方向上有FN=(F-mg)sin θ,则Ff=μ(F-mg)sin θ,故A正确.
4.(效果分解法)刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈,如图8是斧头劈木柴的情景.劈的纵截面是一个等腰三角形,使用劈的时候,垂直劈背加一个力F,这个力产生两个作用效果,使劈的两个侧面推压木柴,把木柴劈开.设劈背的宽度为d,劈的侧面长为l,不计斧头自身的重力,则劈的侧面推压木柴的力为( )
图8
A.F B.F C.F D.F
答案 B
解析 斧头劈木柴时,设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1=F2,利用几何三角形与力的三角形相似有 ==,得推压木柴的力F1=F2=F,所以B正确,A、C、D错误.
5.(正交分解的应用)(2021·河北张家口市第一次质检)如图9,斜面倾角为30°,一质量m=1 kg的物块在与斜面成30°角的拉力F作用下恰好不上滑.已知物块与斜面间动摩擦因数μ=,求F的大小.(g=10 m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
图9
答案 5 N
解析 对物块受力分析如图,沿斜面方向和垂直斜面方向建立平面直角坐标系,正交分解拉力F、重力mg,如图所示
x轴:Fcos 30°-mgsin 30°-Ff=0
y轴:Fsin 30°+FN-mgcos 30°=0
又Ff=μFN
代入数值,解得F=5 N.
考点三 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”
1.活结:当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时,绳上的力是相等的,即滑轮只改变力的方向,不改变力的大小,如图10甲,滑轮B两侧绳的拉力相等.
2.死结:若结点不是滑轮,而是固定点时,称为“死结”结点,则两侧绳上的弹力不一定相等,如图乙,结点B两侧绳的拉力不相等.
3.动杆:若轻杆用光滑的转轴或铰链连接,当杆平衡时,杆所受到的弹力方向一定沿着杆,否则杆会转动.如图乙所示,若C为转轴,则轻杆在缓慢转动中,弹力方向始终沿杆的方向.
图10
4.定杆:若轻杆被固定,不发生转动,则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向,如图甲所示.
例4 如图11甲所示,轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为m1的物体,∠ACB=30°;图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上,另一端G通过细绳EG拉住,EG与水平方向成30°角,轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体,重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
图11
A.图甲中BC对滑轮的作用力为
B.图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
答案 D
解析 题图甲中,是一根绳跨过光滑定滑轮,绳中的弹力相等,两段绳的拉力都是m1g,互成120°角,则合力的大小是m1g,方向与竖直方向成60°角斜向左下方,故BC对滑轮的作用力大小也是m1g,方向与竖直方向成60°角斜向右上方,A选项错误;题图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g,B选项错误;题图乙中FEGsin 30°=m2g,得FEG=2m2g,则=,C选项错误,D选项正确.
6.(活结的应用)(2020·辽宁葫芦岛市第一次模拟)如图12所示,细绳一端固定在A点,跨过与A等高的光滑定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q.现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩挂在AB之间,稳定后挂钩下降至C点,∠ACB=120°,下列说法正确的是( )
图12
A.若只增加Q桶内的沙子,再次平衡后C点位置不变
B.若只增加P桶内的沙子,再次平衡后C点位置不变
C.若在两桶内增加相同质量的沙子,再次平衡后C点位置不变
D.若在两桶内增加相同质量的沙子,再次平衡后沙桶Q位置上升
答案 C
解析 对沙桶Q受力分析有FT=GQ,设两绳的夹角为θ,对C点受力分析可知,C点受三力而平衡,而C点为活结绳上的点,两侧绳的张力相等,有2FTcos =GP,联立可得2GQcos =GP,故增大Q的重力,夹角θ变大,C点上升;只增大P的重力时,夹角θ变小,C点下降,故A、B错误;当θ=120°时,GP=GQ,故两沙桶增加相同的质量,P和Q的重力仍相等,C点的位置不变,故C正确,D错误.
7.(活结与动杆组合)(多选)如图13所示,轻杆BC一端用铰链固定于墙上,另一端有一小滑轮C,重物系一绳经C固定在墙上的A点,滑轮与绳的质量及摩擦力均不计,若将绳一端从A点沿墙稍向上移,系统再次平衡后,则( )
图13
A.绳的拉力增大
B.轻杆受到的压力减小,且杆与AB的夹角变大
C.绳的拉力大小不变
D.轻杆受的压力不变
答案 BC
解析 对C进行受力分析如图所示,根据力的平衡条件和对称性可知FAC=FCD=G.A点上移后绳上拉力大小不变,等于重物的重力,故A错误,C正确;A点上移后AC与CD的夹角变大,则合力变小,即轻杆受到的压力减小,方向沿杆方向并且沿∠ACD的角平分线,根据几何知识知∠BCD变大,即杆与AB的夹角变大,故B正确,D错误.
课时精练
1.三个共点力大小分别是F1、F2、F3,关于它们合力F的大小,下列说法中正确
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