资源描述
一.方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题:
(1)多面体外接球半径的求法,当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时,可构造长方体或正方体.
(2)与球的外切问题,解答时首先要找准切点,可通过作截面来解决.
(3)球自身的对称性与多面体的对称性;
二.解题策略
类型一 柱体与球
【例1】已知长方体的表面积为,,则该长方体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【举一反三】
1.已知三棱柱的底面是边长为的等边三角形,侧棱垂直于底面且侧棱长为2,若该棱柱的顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
2.已知一个正方体的各顶点都在同一球面上,现用一个平面去截这个球和正方体,得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形,若此正三角形的边长为,则这个球的表面积为( ).
A. B. C. D.
3.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计),底面直径为cm,高度为cm,现往里面装直径为cm的球,在能盖住盖子的情况下,最多能装( )
(附:)
A.个 B.个 C.个 D.个
类型二 锥体与球
【例2】已知球O的半径为,以球心O为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部,若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为,则正四面体的体积为_________.
【举一反三】
1.正四面体ABCD的体积为,则正四面体ABCD的外接球的体积为______.
2.《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为
3.在四棱锥中,底面是边长为4的正方形,是一个正三角形,若平面平面,则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
类型三 构造法(补形法)
【例3】已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上,底面,,,,是线段上一点,且.过点作球的截面,若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
【举一反三】
1.三棱锥中,侧棱与底面垂直,,,且,则三棱锥的外接球的表面积等于 .
2.已知直三棱柱的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和,此三棱柱的高为,则该三棱柱的外接球的体积为
A. B. C. D.
3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
类型四 与球体相关的最值问题
【例4】在外接球半径为4的正三棱锥中,体积最大的正三棱锥的高( )
A. B. C. D.
【举一反三】
1.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形,且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,,若,当阳马体积最大时,则堑堵的外接球体积为( )
A. B. C. D.
2.已知,,,四点在同一个球的球面上,,,若四面体体积的最大值为3,则这个球的表面积为( )
A. B. C. D.
3.菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,沿对角线AC将三角形ACD折起,当三棱锥D-ABC体积最大时,其外接球表面积为( )
A. B. C. D.
三.强化训练
一、选择题
1.棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
2、(在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
3.如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形,而且每个顶点都引出相同数目的棱,那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图,并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同,则它们的棱长之比为( )
A. B. C. D.
4.如图,在四棱锥中,四边形为矩形,,,,,则四棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中,平面,M是线段上一动点,线段长度最小值为,则三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
6、某多面体的三视图如图所示,其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形,侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形,俯视图为一矩形,则该多面体的外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
7.如图,三棱锥的体积为,又,,,,且二面角为锐角,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在如图所示的空间几何体中,下面的长方体的三条棱长,,上面的四棱锥中,,,则过五点、、、、的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
9.三棱锥P—ABC中,底面ABC满足BA=BC, ,点P在底面ABC的射影为AC的中点,且该三棱锥的体积为,当其外接球的表面积最小时,P到底面ABC的距离为( )
A.3 B. C. D.
10.在平面四边形ABCD中,AB⊥BD,∠BCD=30°,,若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BDC外接球的表面积是( )
A.4π B.5π C.6π D.8π
11.设三棱锥的每个顶点都在球的球面上,是面积为的等边三角形,,则当三棱锥的体积最大时,球的表面积为( )
A. B. C. D.
12.已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,EF,AF折成一个三棱锥P-AEF(使B,C,D重合于P),三棱锥P-AEF的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
13.已知球夹在一个二面角之间,与两个半平面分别相切于点.若,球心到该二面角的棱的距离为2,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
14.已知点在半径为2的球面上,满足,,若S是球面上任意一点,则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
15.已知半球与圆台有公共的底面,圆台上底面圆周在半球面上,半球的半径为1,则圆台侧面积取最大值时,圆台母线与底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
16.圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形,该圆柱内有一个体积为V的球,则V的最大值为
17.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为,则该二十四等边体外接球的表面积为
18.在棱长为的正方体中,,分别为,的中点,点在棱上,,若平面交于点,四棱锥的五个顶点都在球的球面上,则球半径为
19.设是同一个半径为4的球的球面上四点,在中,,,则三棱锥体积的最大值为
20.正三棱锥S-ABC的外接球半径为2,底边长AB=3,则此棱锥的体积为
21.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点,PA=PB=PC=2,,点B在AC上的射影为D,则三棱锥体积的最大值为
22.已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为__________.
23.如图,在三棱锥中,平面,,,,是的中点,则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为___
24.若正四棱锥的底面边长和高均为8,M为侧棱的中点,则四棱锥外接球的表面积为___________.
25.已知P为球O球面上一点,点M满足,过点M与成的平面截球O,截面的面积为,则球O的表面积为________.
26.如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型):在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥侧面、截面相切,设图中球和球的半径分别为1和3,,截面分别与球和球切于点和,则此椭圆的长轴长为___________.
27.在长方体中,,,,过点A且与直线平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内,则在平面变化的过程中,这两个球的半径之和的最大值为___________.
28.设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为___________.
29.已知四面体的棱长均为分别为棱上靠近点的三等分点,过三点的平面与四面体的外接球的球面相交,得圆,则球的半径为___________,圆的面积为__________.
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