高考数学三轮冲刺压轴小题15 立体几何中最值问题 (解析版)

立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力。最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面。 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二．解题策略 类型一 空间角的最值问题 【例1】（2020·浙江高三期末）如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取BD中点O，连结AO，CO， ∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO， ∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角， 以O为原点，OC为x轴，OD为y轴， 过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0）， 设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则， 连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（）， ∴，， 设AB、CD的夹角为α，则cosα， ∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]． ∴cos的最大值为．故选：C． 【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值. 【举一反三】 [来 1．（2020·广东高考模拟）在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为1， 设0，，，， 1，，1，，0，，1，， ，1，，1，， 设平面的法向量y，， 则，取，得， 平面，，解得， ，， 设直线与直线AB所成角为， 1，， ，，， ． 直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选B． 2．（2020·河南高三月考（理））如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角为，可证，设棱形的边长为，则，，，，， ，易知平面的法向量 设直线与平面所成角为，则 令，， 则时即在上单调递增； 时即在上单调递减； ，则 ，，故选： 3．是圆锥的直径，是它的一条母线，E、F是的两个三等分点（E点靠近S点），C点在圆O上运动（不与A、B两点重合），则二面角的平面角为则的最大值是_______． 【答案】 【解析】设圆锥的高为如图所示，二面角的平面角为，二面角的平面角为， 则， 设, 所以. 所以. 故答案为： 类型二 空间距离的最值问题 【例2】（2020银川一中模拟）正方体的棱长为1,、分别在线段与上,的最小值为 【答案】1 【解析】分析：方法一,该题可以结合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离来求；方法二,可设出变量,构建相应的函数,利用函数的最值求解；方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值. 方法一（定义转化法）因为直线与是异面直线,所以当是两直线的共垂线段时 ,取得最小值。取的中点,的中点.则线段就是两异面直线与的共垂线段. 下证明之. 在矩形中,为中位线,所以, 又因为平面,所以平面 又因为平面, 所以. 同理可证, 而,, 所以线段就是两异面直线与的共垂线段,且. 由异面直线公垂线段的定义可得,故的最小值为1. 方法二：（参数法）如图,取的中点,的中点.则线段就是两异面直线与的共垂线段.由正方体的棱长为1可得. 连结,则,所以为两异面直线与所成角. 在正方形中,,所以. 过点作,垂足为,连结,则,且. 设,,则. 在中,, 在中,. 显然,当时,取得最小值1,即的最小值为1. 方法三：（向量法）如图,以D为坐标原点,分别以射线、、为、、轴建立空间直角坐标系.设,.则,即； ,即. 所以 , 故当时,取得最小值1,即的最小值为1. 【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值。 【举一反三】 1.（2020河南省焦作市模拟）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]， 则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）． 因为C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣． 当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B． 2．（2020·四川高三期末（理））已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 三棱锥，满足两两垂直，且， 如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱, 以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系, 则， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球， 是三棱锥外接球上一动点， 由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时， 点到平面的距离最大， 点到平面的距离的最大值为.故选C. 3．（2020·山西高三月考）设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接， 则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线． 与平行，交于点，过点作垂直于点，则有，与平面垂直， 所以，与垂直，即角是平面与平面的夹角的平面角，且， 与平行交于点，过点作垂直于点， 同上有：，且有，又因为，故， 而，故， 而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点， 点到点的最短距离是点到直线的距离， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，， ， ， ，点到点的最短距离： ．故选：． 4．如图，三棱锥中，，点P在侧面内，且点P到直线的距离为4，则点P到平面距离的最小值为_________． 【来源】山西省临汾市2021届高三下学期二模数学（理）试题 【答案】 【解析】由于点P到直线的距离为4，所以点P在以AB为轴底面半径为4的圆柱的侧面上，由题得侧面ACD与圆柱的侧面的交线为椭圆的一部分（因为侧面ACD与直线AB不垂直，所以该侧面所在的平面与圆柱的交线一定为椭圆），所以点P的轨迹为侧面PCD与圆柱的椭圆交线的一部分， 如图，取CD的中点为M，连接AM,BM,由，得, 所以CD平面ABM ,CD关于平面ABM对称. 连接AP并延长AP交CD于N,连接BN,过点N作,过点P作PFAB, 由题得,所以,所以, 所以, (此时点P在线段AM上,) 所以. 所以最大值为，PN最小，（此时点N和点M重合）. 由对称性得点P到平面BCD的距离最小， 所以距离的最小值为. 故答案为： 类型三 周长、面积与体积的最值问题 【例3】已知点P是等边△ABC外一点，且点P在△ABC所在平面内的射影恰好在边BC上，若△ABC的边长为2，三棱锥P﹣ABC的外接球体积为4，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为___________. 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2021届高三下学期第三次大联考数学试题 【答案】 【解析】如图，点P在过直线PC与平面ABC垂直的球的小圆面的圆周上， 当点P在平面ABC的射影为BC中点时，三棱锥P﹣ABC体积最大， 设等边三角形ABC的中心为O1，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O上，球O的体积为4， ∴外接球的半径r=，∵△ABC的边长为2，点P在△ABC所在平面内的射影恰好在边BC上， 设为D，过O作OE⊥PD，垂足为E，垂足为E，依题意可得，， ∴PE=，， 又，PD=，所以三棱锥P﹣ABC体积的最大值为， ∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值为. 故答案为：． 【例4】已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在体积为的球面上，它的两条边的长度分别为和，则的伴随球的表面积的取值范围是_____． 【来源】安徽省宣城市2021届高三下学期第二次调研理科数学试题 【答案】． 【解析】由题意可知，球的半径为，分别取球的两条弦的中点，则，即弦分别是以为球心，半径为1和2的球的切线，且弦在以为球心，半径为1的球的外部， 的最大距离为，最小距离为． 当三点共线时，分别取最大值与最小值． 故的伴随球半径分别为， 半径为时，的伴随球的表面积为， 当半径为时，的伴随球的表面积为． ∴的伴随球的表面积的取值范围是． 故答案为：． 【例5】（2020·重庆南开中学高二期末）如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2，，过体对角线的截面S与棱和分别交于点E、F，给出下列命题中： ①四边形的面积最小值为； ②直线EF与平面所成角的最大值为； ③四棱锥的体积为定值； ④点到截面S的距离的最小值为. 其中，所有真命题的序号为（ ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①分析可得当为为棱的中点时,四边形的面积最小,求解即可； ②过点的平面的垂线交平面于点,转化直线EF与平面所成角最大为直线与直线的夹角最小,进而求解即可； ③转化四棱锥的体积为以平面和平面为底的三棱锥的体积的和,进而求证即可； ④分析可得当点与点重合,点与点重合时四边形的面积最大,此时点到截面S的距离的最小,进而求解即可 【详解】由题,因为过体对角线,则由对称性易得四边形是平行四边形, 连接,,且交于点,过点作的垂线,垂足为, 则若四边形面积最小,即最小, 即为棱到平面的距离,即为长, 因为,则, 所以, 则, 又, 所以,此时为棱的中点,故①正确； 过点的平面的垂线交平面于点,则即为点到平面的距离,根据底面菱形的性质,可得, 若直线EF与平面所成角最大,则直线与直线的夹角最小,即最小,此时最大,即最小, 即时,故,则, 则直线EF与平面所成角最大为,故②错误； 设点到平面,平面的距离分别为,即从点分别向作垂线即可,由菱形可得, , 为定值,故③正确； 因为四棱锥的体积为定值, 所以