专题23 极值点偏移问题概述
一、极值点偏移的含义
函数f(x)满足内任意自变量x都有f(x)＝f(2m－x)，则函数f(x)关于直线x＝m对称．可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x＝m必为f(x)的极值点x0，如图(1)所示，函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点则刚好满足＝x0，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．
图(1) 图(2) 图(3)
若≠x0，则极值点偏移．若单峰函数f(x)的极值点为x0，且函数f(x)满足定义域内x＝m左侧的任意自变量x都有f(x)>f(2m－x)或f(x)
，则称为极值点右偏．
深层理解
1．已知函数f(x)的图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．
2．若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．
(1)极值点左偏：x1＋x2＞2x0，x＝处切线与x轴不平行．
若f(x)上凸（f¢(x)递减），则f¢()＜f¢(x0)＝0，若f(x)下凸（f¢(x)递增），则f¢()＞f¢(x0)＝0．
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(2)极值点右偏：x1＋x2＞2x0，x＝处切线与x轴不平行．
若f(x)上凸（f¢(x)递减），则f¢()＜f¢(x0)＝0，若f(x)下凸（f¢(x)递增），则f¢()＜f¢(x0)＝0．
二、极值点偏移问题的一般题设形式
(1)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2＞2x0（x0为函数f(x)的极值点）；
(2)若函数f(x)定义域中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2x0（x0为函数f(x)的极值点）；
(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f¢(x0)＞0；
(4)若函数f(x)定义域中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f¢(x0)＞0．
三、极值点偏移问题的一般解法
1．对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0．
(2)构造函数，即对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)；对结论x1x2>x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．
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(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．
若要证明f′的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
2．比(差)值代换法
比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，即t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．
3．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下：
(1)先证： ①
不等式①
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式①成立；
(2)再证： ②
不等式②
构造函数，则．
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因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式②成立；
综合(1)(2)知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．
[例1] (2010天津)已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2．
解析 (1)f′(x)＝e－x(1－x)，令f′(x)>0得x<1；令f′(x)<0得x>1，
∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)有极大值f(1)＝，f(x)无极小值．
(2)方法一 (对称化构造法)
分析法 欲证x1＋x2>2，即证x1>2－x2，由(1)可设0f(2－x2)，又因为f(x1)＝f(x2)，
故也即证f(x2)>f(2－x2)，构造函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(1，＋∞)，
则等价于证明F(x)>0对x∈(1，＋∞)恒成立．
由F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，
∵当x>1时，x－1>0，ex－2－e－x>0，∴F′(x)>0，
则F(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以F(x)>F(1)>0，
即已证明F(x)>0对x∈(1，＋∞)恒成立，故原不等式x1＋x2>2亦成立．
综合法 构造辅助函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，x>1，
则F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，
∵当x>1时，x－1>0，ex－2－e－x>0，∴F′(x)>0，
∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴F(x)>F(1)＝0，故当x>1时，f(x)>f(2－x)，(*)
由f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，可设x1<1f(2－x2)，又f(x1)＝f(x2)，
∴f(x1)>f(2－x2)．又x1<1，2－x2<1，而f(x)在(－∞，1)上单调递增，∴x1>2－x2，∴x1＋x2>2．
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总结提升 本题(2)证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解．考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养．在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定，如本题中利用x1，2－x2，其取值范围都为(0，1)，若将所证不等式化为x1＞2－x2，则x2，2－x1的取值范围都为(1，＋∞)，此时就必须利用函数h(x)在(1，＋∞)上的单调性来求解．对于x1＋x2型不等式的证明常用对称化构造法去解决，书写过程可用分析法或用综合法．
方法二 (比值代换法)
设01，则x2＝tx1，代入上式得ln x1－x1＝ln t＋ln x1－tx1，得x1＝，x2＝．
∴x1＋x2＝>2⇔ln t－>0，
设g(t)＝ln t－ (t>1)，∴g′(t)＝－＝>0，
∴当t>1时，g(t)为增函数，∴g(t)>g(1)＝0，∴ln t－>0，故x1＋x2>2．
总结提升 对于(2)的证明，也经常用比值代换法证明．比值代换的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用t表示)表示两个极值点，即t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．
方法三 (对数均值不等式法)
设02．
总结提升 对于(2)的证明，也可用对数均值不等式法证明，用此法往往可秒证．但必须用前给出证明．
[例2] 已知函数f(x)＝lnx－ax有两个零点x1，x2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：x1·x2>e2．
思维引导(2) 证明x1x2>e2，想到把双变量x1，x2转化为只含有一个变量的不等式证明．
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解析 (1)f′(x)＝－a＝(x>0)，
①若a≤0，则f′(x)>0，不符合题意；
②若a>0，令f′(x)＝0，解得x＝．当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0．
由题意知f(x)＝ln x－ax的极大值f ＝ln －1>0，解得0e2，只需证明x1>∈(1，e)，只需证明f(x1) > f()，
即f(x2)>f()，即f(x2)－f()>0．
令h(x)＝f(x)－f()(x∈(1，e))，h′(x)＝>0．
故h(x)在(1，e)上单调递增，故h(x) ，即x1x2>e2．
对称化构造法2
由题意，函数f (x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，即f (x1)＝f (x2)＝0，易知ln x1，ln x2是方程x＝aex的两根．
令t1＝ln x1，t2＝ln x2．设g(x)＝xe－x，则g(t1)＝g(t2)，从而x1x2>e2⇔ln x1＋ln x2>2⇔t1＋t2>2．
下证：t1＋t2>2．
g′(x)＝(1－x)e－x，易得g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝．当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0且g(x)>0．
由g(t1)＝g(t2)，t1≠t2，不妨设t10，
所以F(x)在(0，1]上单调递增，所以F(x)>F(0)＝0对任意的x∈(0，1]恒成立，
即g(1＋x)>g(1－x)对任意的x∈(0，1]恒成立．
由0g[1－(1－t1)]＝g(t1)＝g(t2)，
即g(2－t1)>g(t2)，又2－t1∈(1，＋∞)，t2∈(1，＋∞)，且g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以2－t12．
总结提升 上述解题过程就是解决极值点偏移问题的最基本的方法，共有四个解题要点：
(1)求函数g(x)的极值点x0；
(2)构造函数F(x)＝g(x0＋x)－g(x0－x)；
(3)确定函数F(x)的单调性；
(4)结合F(0