资源描述
复杂的三视图问题
一.方法综述
三视图几乎是每年的必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查面积、体积的计算等,均属低中档题.
还原几何体的基本要素是“长对齐,高平直,宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征,熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理,才能迅速破解三视图问题,由三视图画出其直观图.对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置.解题时一定耐心加细心,观察准确线与线的位置关系,区分好实线和虚线的不同.
根据几何体的三视图确定直观图的方法:
(1) 三视图为三个三角形,对应三棱锥;
(2) 三视图为两个三角形,一个四边形,对应四棱锥;
(3) 三视图为两个三角形,一个带圆心的圆,对应圆锥;
(4) 三视图为一个三角形,两个四边形,对应三棱锥;
(5) 三视图为两个四边形,一个圆,对应圆柱.
对于几何体的三视图是多边形的,可构造长方体(正方体),在长方体(正方体)中去截得几何体.
二.解题策略
类型一 构造正方体(长方体)求解
【例1】某几何体的三视图如图所示,关于该几何体有下述四个结论:①体积可能是;②体积可能是;③和在直观图中所对应的棱所成的角为;④在该几何体的面中,互相平行的面可能有四对;其中所有正确结论的编号是( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
【来源】河南省开封市2021届高三三模文科数学试题
【答案】D
【解析】对①:如图,则,故①正确;
对②:如图,则,故②正确;
对③:如图和在直观图中所对应的棱分别为和,由为正三角形,所以和在直观图中所对应的棱所成的角为,故③正确;
对④:如图,平面平面,
平面平面,平面平面,平面平面,故④正确.
故选:D.
【方法点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法
1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;
2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;
3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.
【举一反三】
1.(2020·江西高三)某几何体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形的边长为,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题中三视图还原几何体,可得边长为的正方体中,
由四个顶点、、、构成的三棱锥,
如图所示,
可知三棱锥高,三棱锥底面积,
故三棱锥体积.故选:B.
2、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC,其中点A为中点,所以.故选B.
3.若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.4 B.8 C.12 D.14
【答案】A
【解析】几何体为三棱锥,直观图如下,
.故选:A
类型二 旋转体与多面体组合体的三视图
【例2】(2020·内蒙古高三)如图所示,是某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图,其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知:该组合体下半部为一半球体,上半部为一三棱锥,该三棱锥中一条侧棱与底面垂直,底面三角形为等腰直角三角形,其中腰长为,高为3,而球体的半径为3,所以该组合体的体积为:
.故选:C
【点睛】考查三视图的还原,以及还原之后几何体的表面积,考验空间想象能力,对常见的几何体要熟悉.
【举一反三】一个四棱柱被截去一个半圆柱后剩余部分的三视图如图,则截去部分与剩余几何体的体积比为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】还原三视图的几何体图所示,
可知原四棱柱的底面为直角梯形且,,,,,四棱锥的侧棱长为,故,半圆柱,则半圆柱剩余=半圆柱:半圆柱.故选C.
类型三 与三视图相关的外接与内切问题
【例3】(2020·辽宁鞍山一中高三月考)已知四棱锥的三视图如图所示,则四棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三视图得,几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形,侧面ABE⊥底面BCDE.
如图所示,矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点,OG⊥AF.设OM=x,
由题得在直角△OME中,,又MF=OG=1,AF=,
,解(1)(2)得故选B.
【指点迷津】(1)三视图的定义正确读取图中线的位置关系和数量关系.(2)内切球球心与三棱锥各顶点连线,把原三棱锥分割成四个小三棱锥,利用等体积法求内切球半径.(3)分析外切球球心位置,利用已知的数量,求外切圆半径.
【举一反三】
1.(2020·四川成都七中高考模拟)某多面体的三视图如图所示,则该几何体的体积与其外接球的体积之比为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】几何体为如图三棱锥S-ABC,SA=2,SC=4,BD=2,体积为,其外接球球心为SB中点,外接球半径为,所以几何体的体积与其外接球的体积之比为,选A.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为
A.30p B.41p C.30p D.64p
【来源】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(一)数学(文)试题
【答案】B
【解析】根据三视图得出,该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥,
正方体的棱长为,、为棱的中点,根据几何体判断:球心应该在过、的平行于底面的中截面上,
设球心到截面的距离为,则到的距离为,
∴,,解得出:,,
该多面体外接球的表面积为:.故选:B.
3.(2020·山西高三)某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图,其中, , 平面 ,计算可得,,放在外接球中,把直角三角形恢复为正方形,恰好在一个球小圆中,AC为球小圆的直径,分别过和做圆的垂面,得出矩形和矩形,两矩形对角线交点分别为,连接并取其中点为,则为球心,从图中可以看出点共面且都在的外接圆上,在中, ,,利用正弦定理可以求出的外接圆半径
, , ,平面,则,则球的半径 ,外接球的表面积为,选A.
【点睛】如何求多面体的外接球的半径?基本方法有种,第一种:当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时,可还原为长方体,长方体的体对角线就是外接圆的直径;第二种:“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时,在球内画出棱锥或棱柱,利用底面的外接圆为球小圆,借助底面三角形或四边形求出小圆的半径,再利用勾股定理求出球的半径,第三种:过两个多面体的外心作两个面的垂线,交点即为外接球的球心,再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法,恢复底面为正方形,放在一个球小圆里,这样画图方便一些,最主要是原三视图中的左试图为直角三角形,告诉我们平面平面,和我们做的平面是同一个平面,另外作平面和平面的作用是找球心,因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心,再根据正、余弦进行计算就可解决.
类型四 与三视图相关的最值问题
【例4】(2020·武邑宏达学校高考模拟(理))已知在直三棱柱中,,,若棱在正视图的投影面内,且与投影面所成角为.设正视图的面积为,侧视图的面积为,当变化时,的最大值是__________.
【答案】
【解析】【分析】利用与投影面所成角为,将正视图的面积和侧视图的面积用的三角函数表示,利用辅助角公式结,可求解的最大值.
【详解】
与投影面所成角为时,平面如图所示,
,
,
,
故正视图的面积为
侧视图的面积为,
,,
故的最大值,故答案为.
【点睛】本题考查了三视图的投影的认识和理解,以及二倍角公式与利用辅助角公式求最值,属于中档题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成的形式利用配方法求最值;②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值;③型,可化为求最值 .
【举一反三】
1.某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为
(A)2 (B)2 (C)4 (D)2
【答案】 C
【指点迷津】构造长方体,体对角线为已知长度的棱,长方体三个面为投影面.根据题意,用长方体的棱长表示a+b,用不等式求其最值.
2、某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则的最大值为( )
A.32 C.64
【答案】C
【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图,
其中,平面,.作,,且、交于点,连接,则.设,根据图中的几何关系,有,,两式联立消去得,再由均值不等式,得.故选C.
3.(2020·西安市长安区第五中学高三(理))如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )
A.8 B.4
C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知:该几何体的直观图如图所示,
由三视图特征可知,平面,平面,
,面积最小的为侧面,
∴ 故选C.
三.强化训练
1.(2020·福建高三)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升,某商鞅铜方升模型的三视图,如图所示(单位:寸),若取3,则该模型的体积(单位:立方寸)为( )
A.11.9 B.12.6 C.13.8 D.16.2
【答案】B
【解析】由三视图可知,商鞅铜方升模型为一个直四棱柱与一个圆柱构成的组合体
直四棱柱的体积;圆柱的体积
该模型的体积
故选:
2.(2020·北京人大附中高三)已知某多面体的三视图如图所示,则在该多面体的距离最大的两个面中,两个顶点距离的最大值为( )
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】根据几何体的三视图知,该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体,如图所示;
则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形,所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长,为.故选:D.
3.(2020·北京市十一学校高三)某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由三视图可知,该四棱锥直观图如图(图中正四棱柱的底面边长为,高为,为棱的三等分点),由图可知四棱锥底面为边长为和的矩形,高为的四棱锥,体积为,故选A.
4.(2020·湖南雅礼中学高三月考(理))一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积为( )
A.168 B.98 C.108 D.88
【答案】D
【解析】【分析】由三视图可知该几何体是直三棱柱,且三棱柱的高为4,底面是等腰三角形,三角形的底边边长为6,高为4,求出底面三角形的周长,利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案.
【详解】由三视图知该几何体是直三棱柱,且三棱柱的高为4,
底面是等腰三角形,三角形的底边边长为6,高为4,
∴腰长为5,∴底面三角形的周长为5+5+6=16,
∴几何体的表面积S=2××6
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