高考数学三轮冲刺压轴小题12 复杂的三视图问题 (解析版)

复杂的三视图问题 一．方法综述 三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题. 还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同. 根据几何体的三视图确定直观图的方法： （1） 三视图为三个三角形，对应三棱锥； （2） 三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥； （3） 三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥； （4） 三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥； （5） 三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱. 对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体. 二．解题策略 类型一 构造正方体（长方体）求解 【例1】某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：①体积可能是；②体积可能是；③和在直观图中所对应的棱所成的角为；④在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对；其中所有正确结论的编号是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【来源】河南省开封市2021届高三三模文科数学试题 【答案】D 【解析】对①：如图，则，故①正确； 对②：如图，则，故②正确； 对③：如图和在直观图中所对应的棱分别为和，由为正三角形，所以和在直观图中所对应的棱所成的角为，故③正确； 对④：如图，平面平面， 平面平面，平面平面，平面平面，故④正确. 故选：D. 【方法点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法  1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图； 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度； 3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 【举一反三】 1．（2020·江西高三）某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题中三视图还原几何体，可得边长为的正方体中， 由四个顶点、、、构成的三棱锥， 如图所示， 可知三棱锥高，三棱锥底面积， 故三棱锥体积.故选：B. 2、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC，其中点A为中点，所以.故选B. 3．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．4 B．8 C．12 D．14 【答案】A 【解析】几何体为三棱锥,直观图如下， .故选:A 类型二 旋转体与多面体组合体的三视图 【例2】（2020·内蒙古高三）如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为，高为3，而球体的半径为3，所以该组合体的体积为： .故选：C 【点睛】考查三视图的还原，以及还原之后几何体的表面积，考验空间想象能力，对常见的几何体要熟悉. 【举一反三】一个四棱柱被截去一个半圆柱后剩余部分的三视图如图，则截去部分与剩余几何体的体积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】还原三视图的几何体图所示， 可知原四棱柱的底面为直角梯形且，，，，，四棱锥的侧棱长为，故，半圆柱，则半圆柱剩余＝半圆柱：半圆柱．故选C. 类型三 与三视图相关的外接与内切问题 【例3】（2020·辽宁鞍山一中高三月考）已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE. 如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x, 由题得在直角△OME中，，又MF=OG=1,AF=, ，解（1）（2）得故选B. 【指点迷津】（1）三视图的定义正确读取图中线的位置关系和数量关系.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径.（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径. 【举一反三】 1．（2020·四川成都七中高考模拟）某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】几何体为如图三棱锥S-ABC，SA=2,SC=4,BD=2,体积为，其外接球球心为SB中点,外接球半径为，所以几何体的体积与其外接球的体积之比为，选A. 2.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 A．30p B．41p C．30p D．64p 【来源】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（一）数学（文）试题 【答案】B 【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥， 正方体的棱长为，､为棱的中点，根据几何体判断：球心应该在过､的平行于底面的中截面上， 设球心到截面的距离为，则到的距离为， ∴，，解得出：，， 该多面体外接球的表面积为：.故选：B. 3．（2020·山西高三）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中， ， 平面 ，计算可得，，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点共面且都在的外接圆上，在中， ，，利用正弦定理可以求出的外接圆半径 ， ， ，平面，则，则球的半径 ，外接球的表面积为，选A. 【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决. 类型四 与三视图相关的最值问题 【例4】（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________． 【答案】 【解析】【分析】利用与投影面所成角为，将正视图的面积和侧视图的面积用的三角函数表示，利用辅助角公式结，可求解的最大值. 【详解】 与投影面所成角为时，平面如图所示， ， ， ， 故正视图的面积为 侧视图的面积为， ，， 故的最大值，故答案为. 【点睛】本题考查了三视图的投影的认识和理解，以及二倍角公式与利用辅助角公式求最值，属于中档题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 . 【举一反三】 1.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为 （A）2 （B）2 （C）4 （D）2 【答案】 C 【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面.根据题意，用长方体的棱长表示a+b，用不等式求其最值. 2、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最大值为（ ） A.32 C.64 【答案】C 【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图， 其中，平面，.作，，且、交于点，连接，则.设，根据图中的几何关系，有，，两式联立消去得，再由均值不等式，得.故选C. 3．（2020·西安市长安区第五中学高三（理））如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由三视图可知：该几何体的直观图如图所示， 由三视图特征可知，平面,平面, ,面积最小的为侧面， ∴ 故选C. 三．强化训练 1．（2020·福建高三）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示(单位：寸)，若取3，则该模型的体积（单位：立方寸）为（ ） A．11.9 B．12.6 C．13.8 D．16.2 【答案】B 【解析】由三视图可知，商鞅铜方升模型为一个直四棱柱与一个圆柱构成的组合体 直四棱柱的体积；圆柱的体积 该模型的体积 故选： 2．（2020·北京人大附中高三）已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图所示； 则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为．故选：D． 3．（2020·北京市十一学校高三）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由三视图可知，该四棱锥直观图如图（图中正四棱柱的底面边长为，高为，为棱的三等分点），由图可知四棱锥底面为边长为和的矩形，高为的四棱锥，体积为，故选A. 4．（2020·湖南雅礼中学高三月考（理））一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ） A．168 B．98 C．108 D．88 【答案】D 【解析】【分析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案． 【详解】由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S＝2××6