高考数学三轮冲刺压轴小题20 解析几何中的定值与定点问题 (解析版)

解析几何中的定值与定点问题 一．方法综述 解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下； （1）定值问题：[：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性； 一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果； 另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。 （2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 二．解题策略 类型一 定值问题 【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（　　） A． B． C．2p D． 【答案】D 【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣）， 所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以，所以， 同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣）， 所以，整理得， 所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以， 则则+＝．故选：D． 【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 【举一反三】 1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（　　） A．2 B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2）， 抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0）， 圆心与焦点重合，半径为1， 又由直线过抛物线的焦点F， 则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2， 即有|AB|•|CD|＝x1x2， 设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0， 则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C． 2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a）， 代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0， 令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0， 化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ， ∴k1•k2＝， 取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b， 代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0， 令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0， 化为：λa2k2＝b2（1﹣λ）， ∴k1•k2＝， 又k1•k2为定值， ∴＝， 解得λ＝．故选：C． 3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝　　． 【答案】2 【解析】∵椭圆的离心率为， ∴，则，得． 又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上， 三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0． O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1， 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 则，， 两式作差得，， 则，即， 同理可得，． ∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2． 类型二 定点问题 【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意 一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且 l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（1，0） D．（2，0） 【答案】A 【解析】设A（m，m2），B（0，n）， ∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1） 又A，B同在一个以F为圆心的圆上， ∴|BF|＝|AF| ∴n﹣1＝＝m2+1 ∴n＝m2+2 ∴直线l的斜率k＝＝﹣ ∵直线l′∥l， ∴直线l′的斜率为k， 设点D（a，a2）， ∵y＝x2，∴y′＝x， ∴k＝a，∴a＝﹣， ∴a＝﹣ ∴直线AD的斜率为＝＝＝， ∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m）， 整理可得y＝x+1， 故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A． 【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】 1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的坐标为， ，， 的方程为， 由，，可得， 切线都过点 ，， 故可知过，两点的直线方程为， 当时， 直线恒过定点，故选 2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设是圆的切线， 是圆与以为直径的两圆的公共弦， 可得以为直径的圆的方程为， ① 又 ， ② ①-②得， 可得满足上式，即过定点，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________． 【答案】 【解析】 由， 同理． ，, 取，由对称性可知，直线MN经过轴上的定点. 【归纳总结】在平面直角坐标系xOy中，过椭圆上一定点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，当为非零常数时，直线MN经过定点. 三．强化训练 1．（2020·黑龙江高三模拟）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率，满足，则的横截距（ ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．不是定值 【答案】A 【解析】设直线的方程为，由题意得，则得； 设A，B两点的坐标为，，则得，； 又因为，即， 所以 ， 则得，直线的方程为； 当时，，所以直线的横截距为定值.故选A. 2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线（，） 和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据指数函数的性质，可得函数，恒过定点. 将点代入，可得. 由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以. 又由解得或，所以点在以和为端点的线段上运动， 当取点时，，取点时，，所以的取值范围是. 3．（2020·全国高三模拟）过轴上的点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数的值为（ ） A. B. C． D． 【答案】D 【解析】设直线的方程为，代入，得， 设，则. ， 同理，， ∴ ，∵为定值， 是与无关的常数，∴．故选D． 4．（2020•越城区高三期末）已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“•＝0”是“直线 AB恒过定点（4，0）”的（　　） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【解析】根据题意，A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 若“•＝0”，则设直线AB方程为x＝my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b， 若•＝0，则•＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝b2﹣4b＝0， 解可得：b＝4或b＝0，又由b≠0，则b＝4， 则直线AB的方程为x＝my+4，即my＝x﹣4，则直线AB恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充分条件； 反之：若直线AB恒过定点（4，0），设直线AB的方程为x＝my+4， 将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣16＝0，则有y1y2＝﹣16， 此时•＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝0， 故“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的必要条件； 综合可得：“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B． 5．（2020·湖北高考模拟）设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ） A．定值 B．定值 C．定值 D．不确定，随点位置变化而变化 【答案】A 【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T， ∵是∠F1PF2的角分线．TF1是的垂线， ∴是TF1的中垂线，∴|PF1|＝|PT|， ∵P为双曲线1上一点， ∴|PF1|﹣|PF2|＝2a， ∴|TF2|＝2a， 在三角形F1F2T中，QO是中位线， ∴|OQ|＝a． 故选：A． 6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为， 直线与圆相切时，，， 当时，圆在直线上方，，当时，圆在直线下方，， 若为定值，则，因此．只有D满足． 故选：D. 7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆： ，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线， 为切点，则直线经过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 则 即 因此、在直线上，直线方程为， 又，所以 即，直线经过定点，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O：，直线l：y=kx+b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值； ②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值； ③当k为变数，b为常数时，sin(α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是(