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解析几何中的定值与定点问题
一.方法综述
解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题,其解决思路下;
(1)定值问题:[:解决这类问题时,要运用辩证的观点,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性;
一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果;
另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,从而找到解决问题的突破口,将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式,证明该式是恒定的。
(2)定点问题:定点问题是动直线(或曲线)恒过某一定点的问题;一般方法是先将动直线(或曲线)用参数表示出来,再分析判断出其所过的定点.定点问题的难点是动直线(或曲线)的表示,一旦表示出来,其所过的定点就一目了然了.所以动直线(或曲线)中,参数的选择就至关重要.解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二.解题策略
类型一 定值问题
【例1】(2020•青浦区一模)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD,则+的值为( )
A. B. C.2p D.
【答案】D
【解析】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(),所以设经过焦点直线AB的方程为y=k(x﹣),
所以,整理得,设点A(x1,y1),B(x2,y2),
所以,所以,
同理设经过焦点直线CD的方程为y=﹣(x﹣),
所以,整理得,
所以:|CD|=p+(p+2k2p),所以,
则则+=.故选:D.
【点评】求定值问题常见的方法有两种:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【举一反三】
1.(2020•华阴市模拟)已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F的直线与抛物线交于不同的两点A,D,与圆(x﹣1)2+y2=1交于不同的两点B,C(如图),则|AB|•|CD|的值是( )
A.2 B.2 C.1 D.
【答案】C
【解析】设A(x1,y1),D(x2,y2),
抛物线方程为y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=﹣1,
圆(x﹣1)2+y2=1的圆心为F(1,0),
圆心与焦点重合,半径为1,
又由直线过抛物线的焦点F,
则|AB|=x1+1﹣1=x1,|CD|=x2+1﹣1=x2,
即有|AB|•|CD|=x1x2,
设直线方程为x=my+1,代入抛物线方程y2=4x,可得y2﹣4my﹣4=0,
则y1y2=﹣4,x1x2==1,故选:C.
2.(2020温州高三月考)如图,P为椭圆上的一动点,过点P作椭圆的两条切线PA,PB,斜率分别为k1,k2.若k1•k2为定值,则λ=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取P(a,0),设切线方程为:y=k(x﹣a),
代入椭圆椭圆方程可得:(b2+a2k2)x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ=0,
令△=4a6k4﹣4(b2+a2k2)(a4k2﹣a2b2λ)=0,
化为:(a2﹣a2λ)k2=b2λ,
∴k1•k2=,
取P(0,b),设切线方程为:y=kx+b,
代入椭圆椭圆方程可得:(b2+a2k2)x2﹣2kba2x+a2b2(1﹣λ)=0,
令△=4k2b2a4﹣4(b2+a2k2)a2b2(1﹣λ)=0,
化为:λa2k2=b2(1﹣λ),
∴k1•k2=,
又k1•k2为定值,
∴=,
解得λ=.故选:C.
3.(2020•公安县高三模拟)已知椭圆的离心率为,三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F,且三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3(k1k2k3≠0).若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1(O为坐标原点),则= .
【答案】2
【解析】∵椭圆的离心率为,
∴,则,得.
又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,
三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F,三条边所在直线的斜率分别为k1、k2,k3,且k1、k2,k3均不为0.
O为坐标原点,直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则,,
两式作差得,,
则,即,
同理可得,.
∴==﹣2×(﹣1)=2.
类型二 定点问题
【例2】(2020•渝中区高三模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C上异于坐标原点的任意
一点,过点A的直线l交y轴的正半轴于点B,且A,B同在一个以F为圆心的圆上,另有直线l′∥l,且
l′与抛物线C相切于点D,则直线AD经过的定点的坐标是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,0) D.(2,0)
【答案】A
【解析】设A(m,m2),B(0,n),
∵抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1)
又A,B同在一个以F为圆心的圆上,
∴|BF|=|AF|
∴n﹣1==m2+1
∴n=m2+2
∴直线l的斜率k==﹣
∵直线l′∥l,
∴直线l′的斜率为k,
设点D(a,a2),
∵y=x2,∴y′=x,
∴k=a,∴a=﹣,
∴a=﹣
∴直线AD的斜率为===,
∴直线AD的方程为y﹣m2=(x﹣m),
整理可得y=x+1,
故直线AD经过的定点的坐标是(0,1),故选:A.
【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
【举一反三】
1.(2020·全国高考模拟(理))已知抛物线,过点作该抛物线的切线,,切点为,,若直线恒过定点,则该定点为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设的坐标为,
,,
的方程为,
由,,可得,
切线都过点
,,
故可知过,两点的直线方程为,
当时,
直线恒过定点,故选
2.(2020·重庆高考模拟(理))已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线为切点,则直线经过定点.( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设是圆的切线,
是圆与以为直径的两圆的公共弦,
可得以为直径的圆的方程为, ①
又 , ②
①-②得,
可得满足上式,即过定点,故选B.
3.(2020大理一模)已知椭圆的左顶点为A,过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点,直线AM、AN的斜率记为,满足,则直线MN经过的定点为___________.
【答案】
【解析】 由,
同理.
,,
取,由对称性可知,直线MN经过轴上的定点.
【归纳总结】在平面直角坐标系xOy中,过椭圆上一定点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点,直线AM、AN的斜率记为,当为非零常数时,直线MN经过定点.
三.强化训练
1.(2020·黑龙江高三模拟)直线与抛物线交于两点,为坐标原点,若直线的斜率,满足,则的横截距( )
A.为定值 B.为定值 C.为定值 D.不是定值
【答案】A
【解析】设直线的方程为,由题意得,则得;
设A,B两点的坐标为,,则得,;
又因为,即,
所以 ,
则得,直线的方程为;
当时,,所以直线的横截距为定值.故选A.
2.(2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中(文))如果直线(,)
和函数(,)的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据指数函数的性质,可得函数,恒过定点.
将点代入,可得.
由于始终落在所给圆的内部或圆上,所以.
又由解得或,所以点在以和为端点的线段上运动,
当取点时,,取点时,,所以的取值范围是.
3.(2020·全国高三模拟)过轴上的点的直线与抛物线交于两点,若为定值,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线的方程为,代入,得,
设,则.
,
同理,,
∴
,∵为定值,
是与无关的常数,∴.故选D.
4.(2020•越城区高三期末)已知A、B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点,则“•=0”是“直线
AB恒过定点(4,0)”的( )
A.充分非必要条件 B.充要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
【答案】B
【解析】根据题意,A、B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),
若“•=0”,则设直线AB方程为x=my+b,将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x,可得y2﹣4my﹣4b=0,则y1+y2=4m,y1y2=﹣4b,
若•=0,则•=x1x2+y1y2=()+y1y2=+y1y2=b2﹣4b=0,
解可得:b=4或b=0,又由b≠0,则b=4,
则直线AB的方程为x=my+4,即my=x﹣4,则直线AB恒过定点(4,0),
“•=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的充分条件;
反之:若直线AB恒过定点(4,0),设直线AB的方程为x=my+4,
将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x,可得y2﹣4my﹣16=0,则有y1y2=﹣16,
此时•=x1x2+y1y2=()+y1y2=+y1y2=0,
故“•=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的必要条件;
综合可得:“•=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的充要条件;故选:B.
5.(2020·湖北高考模拟)设是双曲线的左右焦点,点是右支上异于顶点的任意一点,是的角平分线,过点作的垂线,垂足为,为坐标原点,则的长为( )
A.定值 B.定值
C.定值 D.不确定,随点位置变化而变化
【答案】A
【解析】依题意如图,延长F1Q,交PF2于点T,
∵是∠F1PF2的角分线.TF1是的垂线,
∴是TF1的中垂线,∴|PF1|=|PT|,
∵P为双曲线1上一点,
∴|PF1|﹣|PF2|=2a,
∴|TF2|=2a,
在三角形F1F2T中,QO是中位线,
∴|OQ|=a.
故选:A.
6.(2020·浙江省杭州第二中学高三)设点是圆上任意一点,若为定值,则的值可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆标准方程为,圆心为,半径为,
直线与圆相切时,,,
当时,圆在直线上方,,当时,圆在直线下方,,
若为定值,则,因此.只有D满足.
故选:D.
7.(2020·湖北高考模拟(理))已知圆: ,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线, 为切点,则直线经过定点( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设
则
即
因此、在直线上,直线方程为,
又,所以
即,直线经过定点,选A.
8.(2020·全国高三期末(理))已知圆O:,直线l:y=kx+b(k≠0),l和圆O交于E,F两点,以Ox为始边,逆时针旋转到OE,OF为终边的最小正角分别为α,β,给出如下3个命题:
①当k为常数,b为变数时,sin(α+β)是定值;
②当k为变数,b为变数时,sin(α+β)是定值;
③当k为变数,b为常数时,sin(α+β)是定值.
其中正确命题的个数是(
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