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专题13 立体几何多选题
新高考地区专用
1.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
【答案】AD
【详解】,则平面内存在直线l与直线平行,则,可得A正确;
若,则平面内存在直线与平面垂直,但不是任意一条直线均与平面垂直B不正确;
根据面面平行的判定定理要求直线相交,C不正确;
,则平面内存在直线l与平面垂直,,则,D正确;
故选:AD.
2.我们知道,平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立.下面给出的平面几何中的四个真命题, 在空间中仍然成立的有( )
A.平行于同一条直线的两条直线必平行
B.垂直于同一条直线的两条直线必平行
C.一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补
D.一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补
【答案】AC
【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确;
空间中垂直于同一条直线的两条直线,位置关系可能是异面、相交、平行,故B错误;
根据定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补可知C正确;
如图,且,则但和的关系不确定,
故D错误.
故选:AC
3.如图,在正方体中,为正方形的中心,当点在线段上(不包含端点)运动时,下列直线中一定与直线异面的是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【详解】对于A,当为的中点时,,故A不正确;
对于B,因为平面,平面,,平面,所以直线与直线一定 是异面直线,故B正确;
对于C,因为平面,平面,,平面,所以直线与直线一定 是异面直线,故C正确;
对于D,因为平面,平面,,平面,所以直线与直线一定 是异面直线,故C正确;
故选:BCD
4.攒尖是中国传统建筑表现手法,是双坡屋顶形式之一,多用于面积不大的建筑,如塔、亭、阁等,常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上,形成圆攒尖和多边形攒尖.以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥,已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°,侧棱长为米,则该正四棱锥的( )
A.底面边长为4米 B.侧棱与底面所成角的正弦值为
C.侧面积为平方米 D.体积为32立方米
【答案】BD
【详解】如图,在正四棱锥中,O为底面ABCD的中心,E为CD的中点,,
设底面边长为2a,正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为,
所以,则,,,
所以,即,可得.底面边长为米,A错误;
侧棱与底面所成角的正弦值为,B正确;
侧面积,C错误;体积,D正确.
故选:BD
5.已知正方形的边长为1,以为折痕把折起,得到四面体,则( )
A. B.四面体体积的最大值为
C.可以为等边三角形 D.可以为直角三角形
【答案】AC
【详解】解:取BD得中点为O,连接,由题意,,,且,
所以平面,所以,故选项A正确;
当平面时,四面体体积的最大,
且最大体积为,故选项B错误;
当平面时,,所以,
又,所以此时为等边三角形,故选项C正确;
若为直角三角形,又,则,
所以,此时,
不满足三角形任意两边之和大于第三边,故选项D错误.
故选:AC.
6.如图,若正方体的棱长为2,点是正方体在侧面上的一个动点(含边界),点是的中点,则下列结论正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值 B.若,则点在侧面运动路径的长度为
C.若,则的最大值为 D.若,则的最小值为
【答案】AD
【详解】解:对于A,三棱锥的体积,
而因为点P为的中点,所以三角形PDD1的面积是定值,且点M到面PDD1的距离是正方体的棱长,
所以三棱锥的体积是定值,故A正确;
对于B,过点P作,则由正方体的性质得平面,所以,
又,正方体的棱长为2,所以,
所以点M的轨迹是以Q为圆心,1为半径的半圆弧,
所以点在侧面运动路径的长度为,故B不正确;
对于C、D,过点P作,则点Q是的中点,连接QC,取BC的中点N,
连接NC1,A1N,A1C1,则,,
因为,所以,平面,所以,
又,所以平面,所以,所以点M的轨迹是线段,
在中,,,
所以的最大值为,故C不正确;
在中,,所以,
所以点A1到C1N有距离为,所以的最小值为,故D正确,
故选:AD.
7.边长为的正三角形ABC三边AB、AC、BC的中点分别为D、E、F,将三角形ADE沿DE折起形成四棱锥,则下列结论正确的是( )
A.四棱锥体积最大值为
B.当时,平面平面PEF
C.四棱锥总有外接球
D.当时,四棱锥外接球半径有最小值
【答案】BC
【详解】解:当平面平面时,体积最大,其最大值为,故A不正确.
设、PF的中点为O、H,连接OP,OF,OH,,,,且,,又,,平面,
平面,所以是二面角的平面角,则平面平面,故B正确;
对于C,为正三角形,过其重心作平面的垂线l1,则垂线l1上任意一点到P、D、E的距离都相等,,则过F垂直于平面的直线上任意一点到B、C、E、D的距离均相等,因为l1与l2均在平面POF内,∴l1与l2相交,其交点即为外接球球心,故C正确;
由C知,当l1过F时,即为球心,此时半径最小为,故D不正确,
故选:BC
8.如图,四棱锥的底面为矩形,底面,,且,则下列结论中不正确的是( )
A.为线段上的点,则存在点使得平面
B.到平面的距离有可能等于
C.与平面所成的角有可能等于
D.四棱锥的外接球的表面积的最小值是
【答案】CD
【详解】对于选项,点为线段的中点,记和的交点为, 则,
平面,故选项正确;
对于选项B,因为,故平面,所以到平面的距离等于 到平面的距离,由平面,平面平面,所以到的距离即为到平面的距离,当时,到平面的距离等于,故选项B正确;
对于选项C,角是与平面所成的角,当时,线面角为,此时 方程组无正解,故选项C错误;
对于选项D,四棱锥可以补成长方体,长方体的外接球的半径为,而,
所以外接球的半径大于等于,所以其表面积的最小值为 ,故选项D错误;
故选:CD.
9.如图,已知二面角的棱l上有A,B两点,,,,,若,,则( )
A.直线AB与CD所成角的大小为45°
B.二面角的大小为60°
C.三棱锥的体积为
D.直线CD与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
【详解】过A作且,连接,则四边形ABDE是平行四边形,如图,
所以且,故是直线AB与CD所成角或其补角,
因,,则,而,面,
于是面,面,则,
故,则,A正确;
因,即,而,则是二面角的平面角,又,
因此,,即为正三角形,,B正确;
因面,,则面,在面内过C作于O,于是,
又,而,
所以,C错误;
连接而,则是直线CD与所成角,,D正确.
故选:ABD
10.如图,在直三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,,点M在上,且,P为线段上的点,则( )
A.平面
B.当P为的中点时,直线AP与平面ABC所成角的正切值为
C.存在点P,使得
D.存在点P,使得三棱锥的体积为
【答案】BD
【详解】对于A,假设平面,则AC,易知⊥AC,∩,故AC⊥平面,故AC⊥BC,这与∠ACB=60°矛盾,故假设不成立,故A错误;
对于B,当P为的中点时,取BC中点为N,连接PN、AN,
易知PN∥,⊥平面ABC,则PN⊥平面ABC,故∠PAN即为AP与平面ABC所成角,
则tan∠PAN=,故B正确;
对于C,取BC中点为N,连接AN、NM,
由AN⊥BC,AN⊥知AN⊥平面,故AN⊥CP,
若,∵AN∩AM=A,则CP⊥平面AMN,则CP⊥MN,
过C作CG∥MN交于G,则CP⊥CG,即∠PCG=90°,易知∠PCG不可能为90°,故不存在P使得,故C错误;对于D,取BC中点为N,连接AN,易知AN⊥平面,AN=,
若三棱锥的体积为,则,
∵
,
故存在P使时,三棱锥的体积为,故D正确.
故选:BD.
11.如图,在五棱锥中,平面, ,,是等腰三角形.则( )
A.平面平面
B.直线与平面所成的角为的大小为60°
C.四棱锥的体积为
D.四边形的面积为3
【答案】AD
【详解】因为,
由余弦定理可得,所以,
所以,所以,
又由平面,平面,所以,
因为,所以平面,
又因为,所以平面,
因为平面,所以平面平面,所以A正确;
过点作于点,
因为平面平面,且平面平面,所以平面,
又因为,平面,所以平面,
所以点到平面的距离等于点到平面的距离,
在直角中,可得,即到平面的距离,
设直线与平面所成的角为,可得,
又由,所以,所以B不正确;
由平面,可得,
因为,所以四边形为直角梯形,其面积为,
所以四棱锥的体积为,所以C不正确,D正确.
故选:AD.
12.正多面体也称帕拉图立体,被喻为最有规律的立体结构,其所有面都只由一种正多边形构成(各面都是全等的正多边形,且每个顶点所接的面数都一样,各相邻面所成的二面角都相等).某中学在劳动技术课上,要求学生将一个近似正八面体的玉石切制成如图所示的棱长为2的正八面体P-ABCD-Q(其中E、F、H分别为PA,PB,BC的中点),则( )
A.AP与CQ为异面直线
B.平面PAB⊥平面PCD
C.经过E、F、H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形
D.此正八面体外接球的表面积为8π
【答案】CD
【详解】对于A选项,由多面体的对称性知,A,B,C,D四点共面,
又因为PA=AQ=QC=CP,结合PQ=AC,所以四边形PACQ是正方形,所以选项A错误;
对于B选项,设AB中点为N,CD中点为M,
则为平面PAB和平面PCD的二面角,,,NM=2
所以,所以平面PAB和平面PCD的二面角不为直角,所以选项B错误;
对于选项C,设QC,CD,DA的中点分别为J,K,L,顺次连接E,F,H,J,K,L,E,
根据中位线定理能够得到EF=FH=HJ=JK=KL=LE,
所以经过E、F、H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形,故选项C正确;
对于选项D,根据题意,外接球的直径为,所以外接球的半径为,
表面积,故该选项正确.
故选:CD.
13.如图,点P是棱长为2的正方体ABCD-的表面上一个动点,则( )
A.当P在平面上运动时,四棱锥P-的体积不变
B.当P在线段AC上运动时,与所成角的取值范围是[,]
C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D.若F是的中点,当P在底面ABCD上运动,且满足PF//平面时,PF长度的最小值是
【答案】ABC
【详解】
A选项,底面正方形的面积不变,P到平面的距离为正方体棱长,故四棱锥P-的体积不变,A选项正确;
B选项,与所成角即与所成角,当P在端点A,C时,所成角最小,为,当P在AC中点时,所成角最大,为,故B选项正确;
C选项,由于P在正方体表面,P的轨迹为对角线AB1,AD1,以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图,
故P的轨迹长度为,C正确;
D选项,FP 所在的平面为如图所示正六边形,故FP的最小值为,D选项错误.
故选:ABC.
14.在所有棱长都相等的正三棱柱中,点A是三棱柱的顶点,M,N、Q是所在棱的中点,则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【详解】所有棱长都相等的正三棱柱中,点A是三棱柱的顶点,M,N、Q是所在棱的中点,故可设棱长为2,在正三
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