新高考二轮复习多选题与双空题满分训练专题13立体几何多选题（原卷版）

专题13 立体几何多选题 新高考地区专用 1．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】，则平面内存在直线l与直线平行，则，可得A正确； 若，则平面内存在直线与平面垂直，但不是任意一条直线均与平面垂直B不正确； 根据面面平行的判定定理要求直线相交，C不正确； ，则平面内存在直线l与平面垂直，，则，D正确； 故选：AD． 2．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（       ） A．平行于同一条直线的两条直线必平行 B．垂直于同一条直线的两条直线必平行 C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【答案】AC 【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确； 空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误； 根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确； 如图，且，则但和的关系不确定， 故D错误. 故选：AC 3．如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线异面的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，当为的中点时，，故A不正确； 对于B，因为平面，平面，，平面，所以直线与直线一定 是异面直线，故B正确； 对于C，因为平面，平面，，平面，所以直线与直线一定 是异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，平面，，平面，所以直线与直线一定 是异面直线，故C正确； 故选：BCD 4．攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（       ） A．底面边长为4米 B．侧棱与底面所成角的正弦值为 C．侧面积为平方米 D．体积为32立方米 【答案】BD 【详解】如图，在正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，E为CD的中点，， 设底面边长为2a，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为， 所以，则，，， 所以，即，可得．底面边长为米，A错误； 侧棱与底面所成角的正弦值为，B正确； 侧面积，C错误；体积，D正确． 故选：BD 5．已知正方形的边长为1，以为折痕把折起，得到四面体，则（       ） A． B．四面体体积的最大值为 C．可以为等边三角形 D．可以为直角三角形 【答案】AC 【详解】解：取BD得中点为O，连接，由题意，，，且， 所以平面，所以，故选项A正确； 当平面时，四面体体积的最大， 且最大体积为，故选项B错误； 当平面时，，所以， 又，所以此时为等边三角形，故选项C正确； 若为直角三角形，又，则， 所以，此时， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故选项D错误. 故选：AC. 6．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（       ） A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点在侧面运动路径的长度为 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】AD 【详解】解：对于A，三棱锥的体积， 而因为点P为的中点，所以三角形PDD1的面积是定值，且点M到面PDD1的距离是正方体的棱长， 所以三棱锥的体积是定值，故A正确； 对于B，过点P作，则由正方体的性质得平面，所以， 又，正方体的棱长为2，所以， 所以点M的轨迹是以Q为圆心，1为半径的半圆弧， 所以点在侧面运动路径的长度为，故B不正确； 对于C、D，过点P作，则点Q是的中点，连接QC，取BC的中点N， 连接NC1，A1N，A1C1，则，， 因为，所以，平面，所以， 又，所以平面，所以，所以点M的轨迹是线段， 在中，，， 所以的最大值为，故C不正确； 在中，，所以， 所以点A1到C1N有距离为，所以的最小值为，故D正确， 故选：AD. 7．边长为的正三角形ABC三边AB､AC､BC的中点分别为D､E､F，将三角形ADE沿DE折起形成四棱锥，则下列结论正确的是（       ） A．四棱锥体积最大值为 B．当时，平面平面PEF C．四棱锥总有外接球 D．当时，四棱锥外接球半径有最小值 【答案】BC 【详解】解：当平面平面时，体积最大，其最大值为，故A不正确. 设､PF的中点为O､H，连接OP，OF，OH，，，，且，，又，，平面， 平面，所以是二面角的平面角，则平面平面，故B正确； 对于C，为正三角形，过其重心作平面的垂线l1，则垂线l1上任意一点到P､D､E的距离都相等，，则过F垂直于平面的直线上任意一点到B､C､E､D的距离均相等，因为l1与l2均在平面POF内，∴l1与l2相交，其交点即为外接球球心，故C正确； 由C知，当l1过F时，即为球心，此时半径最小为，故D不正确， 故选：BC 8．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，且，则下列结论中不正确的是（       ） A．为线段上的点，则存在点使得平面 B．到平面的距离有可能等于 C．与平面所成的角有可能等于 D．四棱锥的外接球的表面积的最小值是 【答案】CD 【详解】对于选项，点为线段的中点，记和的交点为， 则， 平面，故选项正确; 对于选项B，因为，故平面，所以到平面的距离等于 到平面的距离，由平面，平面平面，所以到的距离即为到平面的距离，当时，到平面的距离等于，故选项B正确； 对于选项C，角是与平面所成的角，当时，线面角为，此时 方程组无正解，故选项C错误； 对于选项D，四棱锥可以补成长方体，长方体的外接球的半径为，而， 所以外接球的半径大于等于，所以其表面积的最小值为 ，故选项D错误； 故选：CD. 9．如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（       ） A．直线AB与CD所成角的大小为45° B．二面角的大小为60° C．三棱锥的体积为 D．直线CD与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【详解】过A作且，连接，则四边形ABDE是平行四边形，如图， 所以且，故是直线AB与CD所成角或其补角， 因，，则，而，面， 于是面，面，则， 故，则，A正确； 因，即，而，则是二面角的平面角，又， 因此，，即为正三角形，，B正确； 因面，，则面，在面内过C作于O，于是， 又，而， 所以，C错误； 连接而，则是直线CD与所成角，，D正确. 故选：ABD 10．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点M在上，且，P为线段上的点，则(       ) A．平面 B．当P为的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为 C．存在点P，使得 D．存在点P，使得三棱锥的体积为 【答案】BD 【详解】对于A，假设平面，则AC，易知⊥AC，∩，故AC⊥平面，故AC⊥BC，这与∠ACB=60°矛盾，故假设不成立，故A错误； 对于B，当P为的中点时，取BC中点为N，连接PN、AN， 易知PN∥，⊥平面ABC，则PN⊥平面ABC，故∠PAN即为AP与平面ABC所成角， 则tan∠PAN=，故B正确； 对于C，取BC中点为N，连接AN、NM， 由AN⊥BC，AN⊥知AN⊥平面，故AN⊥CP， 若，∵AN∩AM=A，则CP⊥平面AMN，则CP⊥MN， 过C作CG∥MN交于G，则CP⊥CG，即∠PCG=90°，易知∠PCG不可能为90°，故不存在P使得，故C错误；对于D，取BC中点为N，连接AN，易知AN⊥平面，AN=， 若三棱锥的体积为，则， ∵ ， 故存在P使时，三棱锥的体积为，故D正确． 故选：BD． 11．如图，在五棱锥中，平面， ，，是等腰三角形．则（       ） A．平面平面 B．直线与平面所成的角为的大小为60° C．四棱锥的体积为 D．四边形的面积为3 【答案】AD 【详解】因为， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以， 又由平面，平面，所以， 因为，所以平面， 又因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以A正确； 过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 在直角中，可得，即到平面的距离， 设直线与平面所成的角为，可得， 又由，所以，所以B不正确； 由平面，可得， 因为，所以四边形为直角梯形，其面积为， 所以四棱锥的体积为，所以C不正确，D正确. 故选：AD. 12．正多面体也称帕拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等）.某中学在劳动技术课上，要求学生将一个近似正八面体的玉石切制成如图所示的棱长为2的正八面体P-ABCD-Q（其中E､F､H分别为PA，PB，BC的中点），则（       ） A．AP与CQ为异面直线 B．平面PAB⊥平面PCD C．经过E､F､H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形 D．此正八面体外接球的表面积为8π 【答案】CD 【详解】对于A选项，由多面体的对称性知，A，B，C，D四点共面， 又因为PA=AQ=QC=CP，结合PQ=AC，所以四边形PACQ是正方形，所以选项A错误； 对于B选项，设AB中点为N，CD中点为M， 则为平面PAB和平面PCD的二面角，，，NM=2 所以，所以平面PAB和平面PCD的二面角不为直角，所以选项B错误； 对于选项C，设QC，CD，DA的中点分别为J，K，L，顺次连接E，F，H，J，K，L，E， 根据中位线定理能够得到EF=FH=HJ=JK=KL=LE， 所以经过E､F､H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形，故选项C正确； 对于选项D，根据题意，外接球的直径为，所以外接球的半径为， 表面积，故该选项正确. 故选：CD. 13．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（       ） A．当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，] C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是 【答案】ABC 【详解】 A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确； B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确； C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图， 故P的轨迹长度为，C正确； D选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误. 故选：ABC. 14．在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点,故可设棱长为2，在正三