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与三角形相关的范围问题
一.方法综述
与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一,要充分利用解三角形知识,正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想,运用转化与化归思想求解.
二.解题策略
类型一 转化为函数(三角函数或二次函数)解决
【例1】在平面四边形ABCD中,AB=1,AD=4,BC=CD=2,则四边形ABCD面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期第二次适应性检测数学试题
【答案】A
【解析】由余弦定理知:在中,有
,
在中,有,
则,
由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积,
故,
在三角形中,易知,,
,当且仅当时等号成立,此时,故,
故选:A.
【指点迷津】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,从而求出范围或最值,从而得最值.
【例2】(2020·广东高考模拟)如图所示,在平面四边形中,,,是以为顶点的等腰直角三角形,则面积的最大值为________.
【答案】
【解析】【分析】设,,,则的面积,在中,运用余弦定理,表示出,根据是以为顶点的等腰直角三角形,得到 ,代入面积公式,利用三角函数即可求面积的最大值.
【详解】在中,设,,
在中,,,由余弦定理,可得,
由,当且仅当时取等号,即有,由于 则,
利用余弦定理可得:,化简得:,
又因为是以为顶点的等腰直角三角形,则 ,
在中,由正弦定理可得:,即:,则,
由于
,即
所以的面积
当时,取最大值1,所以的面积的最大值为
【例3】.(2020·湖北黄冈中学高考模拟)已知中,所对的边分别为a,b,c,且满足,则面积的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】先求出,再证明,再利用二次函数的图像和性质求的最大值得解.
【详解】由题得,
由基本不等式得
又因为,所以
所以,
所以,
所以,
.此时,故答案为1
【举一反三】
1.(2020·安徽高考模拟)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A是B和C的等差中项,
,,则周长的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵是和的等差中项,∴,∴,
又,则,从而,∴,
∵,∴,
所以的周长为,
又,,,∴.故选B.
2.若是垂心,且,则( )
A. B. C. D.
【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题
【答案】D
【解析】在中,,由,
得,
连接并延长交于,
因为是的垂心,所以,,
所以
同乘以得,
因为,所以
由正弦定理可得
又,所以有,
而,
所以,
所以得到,而,所以得到,
故选:D.
3.(2020·山东高考模拟)在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】分析:由,,可知为直角三角形,设设∠BAD=,则,,从而,求二次函数的最值即可.
详解:
由,,可知为直角三角形,其中∠ACB=90°,
设∠BAD=,AB=2r,则,,
在中,,即,
∴,
∴
令t=,则
当,即时,的最大值为
类型二 结合不等式(基本不等式)求解问题
【例1】已知、分别为椭圆:的左、右顶点,为椭圆上一动点,,与直线交于,两点,与的外接圆的周长分别为,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知得、,设椭圆上动点,则利用两点连线的斜率公式可知,,
设直线方程为:,则直线方程为:,根据对称性设,
令得,,即,,则
设与的外接圆的半径分别为,,
由正弦定理得:,,
又,
,当且仅当,即时,等号成立,即的最小值为
故选:A
【例2】(2020·江西高考模拟)在锐角三角形中,角的对边分别为,若,则的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化简边角关系式,可整理出;根据,结合两角和差正切公式可得到;利用换元的方式可将问题转变为求解的最小值的问题;根据锐角三角形特点可求出,从而利用基本不等式求解出最小值.
【详解】由正弦定理可得:
得:
,即
又
令,得:
为锐角三角形
得:,即
当且仅当,即时取等号
【例3】(2020湘赣十四校联考)在中,角,,的对边分别为,,,若,且恒成立,则的取值范围是
【答案】
【解析】
又
又,当且仅当时取等号
设,即当时,恒成立
设
则可知
可得:
【举一反三】
1.在中,已知,,的面积为6,若为线段上的点(点不与点,点重合),且,则的最小值为( ).
A.9 B. C. D.
【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题
【答案】C
【解析】因为,所以,
因为的面积为,所以,
所以,
所以,,,
由于,
所以,
所以,
所以由余弦定理得:,即.
所以,
因为为线段上的点(点不与点,点重合),
所以,根据题意得
所以
所以
,
当且仅当,即时等号成立,所以.
故选:C.
2.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,,,点D在边上,且,则线段长度的最小值为( )
A. B. C.3 D.2
【答案】A
【解析】由及正弦定理,得,即,
由余弦定理得,,∵,∴.
由于,∴,两边平方,得
,当且仅当时取等号,
即,∴线段长度的最小值为.
故选:A.
3.(2020·河南高考模拟)在中,角,,的对边分别为,设的面积为,若,则的最大值为_____.
【答案】
【解析】由题得
由题得
所以,当且仅当时取等号.
所以的最大值为,故填
点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点
三.强化训练
1.(2020安徽省芜湖市高三)锐角三角形的内角,,的对边分别为,,,已知,,则周长的最大值为( )
A. B. C.3 D.4
【答案】C
【解析】依题意,由正弦定理得,即,由于三角形为锐角三角形,故,由正弦定理得,故三角形的周长为 ,故当,即三角式为等边三角形时,
取得最大值为,故选C.
2.(2020黑龙江省鹤岗市一模)中,角、、所对的边分别为、、,且满足,,则面积的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知,由正弦定理得,
又由在中,,即,即,
因为,所以,
在中,由余弦定理可知,且,
即,当且仅当时,等号成立,
即,所以的最大面积为,故选A.
3.(2020·山东高考模拟)设锐角三角形的内角所对的边分别为,若,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由锐角三角形的内角所对的边分别为,若,
,,
, ,
,由正弦定理得,即
,则b的取值范围为,故选C.
4.设锐角的三个内角..的对边分别为..,且,,则周长的取值范围为( )
A. B. C. D.
【来源】备战2021年高考数学(文)全真模拟卷(新课标Ⅱ卷)
【答案】C
【解析】∵为锐角三角形,且,
∴,
∴,,
又∵,
∴,
又∵,,
∴,
由,
即,
∴,
令,则,
又∵函数在上单调递增,
∴函数值域为,
故选:C
5.(2020·安徽省定远中学高考模拟)已知在锐角中,角,,的对边分别为,,,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵,∴,
∴.又,
∴,
∴.
又∵在锐角中, ,∴,当且仅当时取等号,∴,故选A.
6、(2020山西省高考模拟) 的内角 的对边分别为 ,若的面积为,周长为6,则b的最小值是( )
A.2 B. C.3 D.
【答案】A
【解析】因为的面积为,所以
整理得,即, ,
因为 ,所以
又因为周长为6,所以 ,即
所以 , ,所以的最小值是2,故选A
7、(2020陕西省汉中市质检)在中,角的对边分别是,若角成等差数列,且直线平分圆的周长,则面积的最大值为( )
A. B. C.2 D.
【答案】D
【解析】因为角成等差数列,所以,又直线平分圆的周长,所以直线过圆心,即,三角形面积,根据均值不等式,当且仅当时等号成立,可知面积的最大值为,故选D.
8.(2020湖南省湘潭市模拟)分别为锐角内角的对边,函数有唯一零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意,函数为偶函数且有唯一零点,则,所以.
由余弦定理,得,整理得,
即,所以,
由正弦定理,得,即,
所以,所以,
所以或(舍),故,
结合锐角,,则,,所以,
由,又因为,所以,
即的取值范围是,故选D.
9.(2020·山东高考模拟)曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为,则外接圆面积的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设直线l与曲线的切点坐标为(),求出函数的导数,可得切线的斜率和方程,联立直线y=x求得A的坐标,与y轴的交点B的坐标,运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值,再由正弦定理可得外接圆的半径,进而得到所求面积的最小值.
【详解】设直线l与曲线的切点坐标为(),
函数的导数为.
则直线l方程为,即,
可求直线l与y=x的交点为A(),与y轴的交点为,
在△OAB中,,
当且仅当2=2时取等号.
由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为,
则△OAB外接圆面积,故选:C.
10.已知三棱锥中,平面,,,则三棱锥体积最大时,其外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示:
因为平面,,
所以当的面积最大时,此时三棱锥的体积最大.
设,则,
,
所以.
所以,
当,即时,最大.
当时,,则.
将三棱锥放入直三棱柱中,
,分别为上下底面外接圆圆心,设外接圆半径为,
则的中点为直三棱柱外接球球心,设外接球半径为,
如图所示:
根据正弦定理,解得,所以.故外接球体积.
故选:D
11.锐角的内角,,的对边分别为,,且,,若,变化时,存在最大值,则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,,所以,
可得:,即,
因为为锐角三角形,则有,即,解得:.
= ,
当时,原式有最大值,此时,
则,,,即,所以.
故选:A.
12.已知锐角三角形的内角,,的对边分别为,,.且, 则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意,由正弦定理得,所以,
由于三角形是锐角三角形,所以.
由.
所以
,由于,所以,所以.
故选:C
13.若面积为1的满足,则边的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
【来源】福建省宁德市2020届高三毕业班6月质量检查理科数学试题
【答案】C
【解析】的面积,且,
,
,
根据余弦定理得:
,即,
可得,
,则,解得:,
即边的最小值为.
故选:C.
14.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,若的面积为,则的周长的最小值为( )
A.4 B. C.6 D.
【答案】C
【解析】解法一:因为,所以由正弦定理得,
得,由余弦定理知,因为,所以,
由,得,
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