高考数学三轮冲刺压轴小题07 与三角形相关的范围问题 (解析版)

与三角形相关的范围问题 一．方法综述 与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想，运用转化与化归思想求解． 二．解题策略 类型一 转化为函数（三角函数或二次函数）解决 【例1】在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期第二次适应性检测数学试题 【答案】A 【解析】由余弦定理知：在中，有 ， 在中，有， 则， 由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积， 故， 在三角形中，易知，， ，当且仅当时等号成立，此时，故， 故选：A. 【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，从而得最值. 【例2】（2020·广东高考模拟）如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】【分析】设，，，则的面积，在中，运用余弦定理，表示出，根据是以为顶点的等腰直角三角形，得到 ，代入面积公式，利用三角函数即可求面积的最大值． 【详解】在中，设，， 在中，，，由余弦定理，可得， 由，当且仅当时取等号，即有，由于 则， 利用余弦定理可得：，化简得：， 又因为是以为顶点的等腰直角三角形，则 ， 在中，由正弦定理可得：，即：，则， 由于 ，即 所以的面积 当时，取最大值1，所以的面积的最大值为 【例3】．（2020·湖北黄冈中学高考模拟）已知中，所对的边分别为a，b，c，且满足，则面积的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】先求出，再证明，再利用二次函数的图像和性质求的最大值得解. 【详解】由题得， 由基本不等式得 又因为，所以 所以, 所以， 所以， .此时，故答案为1 【举一反三】 1．（2020·安徽高考模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项， ，，则周长的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是和的等差中项，∴，∴， 又，则，从而，∴， ∵，∴， 所以的周长为， 又，，，∴．故选B． 2．若是垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题 【答案】D 【解析】在中，，由， 得， 连接并延长交于， 因为是的垂心，所以，， 所以 同乘以得， 因为，所以 由正弦定理可得 又，所以有， 而， 所以， 所以得到，而，所以得到， 故选：D. 3．（2020·山东高考模拟）在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】分析：由,,可知为直角三角形，设设∠BAD=，则，，从而，求二次函数的最值即可. 详解： 由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°， 设∠BAD=，AB=2r，则，， 在中，，即， ∴， ∴ 令t=，则 当，即时，的最大值为 类型二 结合不等式（基本不等式）求解问题 【例1】已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得、，设椭圆上动点，则利用两点连线的斜率公式可知，， 设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设， 令得，，即，，则 设与的外接圆的半径分别为，， 由正弦定理得：，， 又， ，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为 故选：A 【例2】（2020·江西高考模拟）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理化简边角关系式，可整理出；根据，结合两角和差正切公式可得到；利用换元的方式可将问题转变为求解的最小值的问题；根据锐角三角形特点可求出，从而利用基本不等式求解出最小值. 【详解】由正弦定理可得： 得： ，即 又 令，得： 为锐角三角形 得：，即 当且仅当，即时取等号 【例3】（2020湘赣十四校联考）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是 【答案】 【解析】 又 又，当且仅当时取等号 设，即当时，恒成立 设 则可知 可得： 【举一反三】 1．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）. A．9 B． C． D． 【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为的面积为，所以， 所以， 所以，，， 由于， 所以， 所以， 所以由余弦定理得：，即. 所以， 因为为线段上的点（点不与点，点重合）， 所以，根据题意得 所以 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以. 故选：C. 2．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】由及正弦定理，得，即， 由余弦定理得，，∵，∴. 由于，∴，两边平方，得 ，当且仅当时取等号， 即，∴线段长度的最小值为. 故选：A. 3．（2020·河南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】由题得 由题得 所以,当且仅当时取等号. 所以的最大值为,故填 点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点 三．强化训练 1.（2020安徽省芜湖市高三）锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则周长的最大值为（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为 ，故当，即三角式为等边三角形时， 取得最大值为，故选C. 2.（2020黑龙江省鹤岗市一模）中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则面积的最大值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，由正弦定理得， 又由在中，，即，即， 因为，所以， 在中，由余弦定理可知，且， 即，当且仅当时，等号成立， 即，所以的最大面积为，故选A. 3．（2020·山东高考模拟）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由锐角三角形的内角所对的边分别为，若， ，, ， ， ,由正弦定理得，即 ，则b的取值范围为,故选C. 4．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【来源】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷） 【答案】C 【解析】∵为锐角三角形，且， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， 由， 即， ∴， 令，则， 又∵函数在上单调递增， ∴函数值域为， 故选：C 5．（2020·安徽省定远中学高考模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， ∴.又， ∴， ∴. 又∵在锐角中, ,∴，当且仅当时取等号，∴，故选A. 6、（2020山西省高考模拟） 的内角 的对边分别为 ，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为的面积为，所以 整理得，即， ， 因为 ，所以 又因为周长为6，所以 ，即 所以 ， ，所以的最小值是2，故选A 7、（2020陕西省汉中市质检）在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D. 8.（2020湖南省湘潭市模拟）分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以. 由余弦定理，得，整理得， 即，所以， 由正弦定理，得，即， 所以，所以， 所以或（舍），故， 结合锐角，，则，，所以， 由，又因为，所以， 即的取值范围是，故选D. 9．（2020·山东高考模拟）曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y＝x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值． 【详解】设直线l与曲线的切点坐标为（）， 函数的导数为． 则直线l方程为，即， 可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为， 在△OAB中，， 当且仅当2＝2时取等号． 由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为， 则△OAB外接圆面积，故选：C． 10．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示： 因为平面，， 所以当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大. 设，则， ， 所以. 所以， 当，即时，最大. 当时，，则. 将三棱锥放入直三棱柱中， ，分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为， 则的中点为直三棱柱外接球球心，设外接球半径为， 如图所示： 根据正弦定理，解得，所以.故外接球体积. 故选：D 11．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 可得：，即， 因为为锐角三角形，则有，即，解得：. = ， 当时，原式有最大值，此时， 则，，，即，所以. 故选：A. 12．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，由正弦定理得，所以， 由于三角形是锐角三角形，所以. 由. 所以 ，由于，所以，所以. 故选：C 13．若面积为1的满足，则边的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【来源】福建省宁德市2020届高三毕业班6月质量检查理科数学试题 【答案】C 【解析】的面积，且， ， ， 根据余弦定理得： ，即， 可得， ，则，解得：， 即边的最小值为. 故选：C. 14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】解法一：因为，所以由正弦定理得， 得，由余弦定理知，因为，所以， 由，得，