资源描述
与三角函数相关的最值问题
一.方法综述
三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一,利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是解决问题的关键,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键.
二.解题策略
类型一 与三角函数的单调性、奇偶性和对称性相关的最值问题
【例1】已知函数在区间上单调递增,则的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.4
2.若函数在上的值域为,则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则的最小值是
A. B. C. D.3
【举一反三】
1.已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点,则ω的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知函数,的部分图象如图所示,则使成立的的最小正值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数在上单调递减,则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
类型二 转化为型的最值问题
【例2】已知函数的一条对称轴为,,且函数在上具有单调性,则的最小值为
A. B. C. D.
【举一反三】
1、已知的最大值为,若存在实数、,使得对任意实数总有成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.若将函数的图象向右平移个单位,所得图象关于轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.已知锐角三角形的内角,,的对边分别为,,.且, 则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.将函数的图像向左平移个单位长度后,得到的图像,若函数在上单调递减,则正数的最大值为
A. B.1 C. D.
类型三 转化为二次函数型的最值问题
【例3】函数的最大值为( )
A. B. C. D.3
【举一反三】
1.已知,则的值域为( )
A. B. C. D.
2.函数的值域为_________.
3、函数,关于的为等式对所有都成立,则实数的范围为__________.
4、求函数的值域.
类型四 转化为三角函数函数型的最值问题
【例4】已知,在这两个实数之间插入三个实数,使这五个数构成等差数列,那么这个等差数列后三项和的最大值为( )
A. B. C. D.
【举一反三】设点在椭圆上,点在直线上,则的最小值是( )
A. B. C. D.2
三.强化训练
1.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称,则函数在区间上的最小值为
A. B. C.1 D.
2.将函数的图象向右平移个单位,在向上平移一个单位,得到g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=4,且x1,x2∈[﹣2π,2π],则x1﹣2x2的最大值为( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象向左平移个长度单位后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数在区间上无极值点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图像,若在上为增函数,则的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知同时满足下列三个条件:①;②是奇函数;③.若在上没有最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数,的最小值为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知函数.若函数 在区间内没有零点 , 则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.在中,,边上的高为1,则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
11.已知实数,不等式对任意恒成立,则的最大值是( )
A. B. C. D.2
12.设函数的最大值为,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且的图象关于点对称,则下列判断正确的是( )
A.函数在上单调递增
B.函数的图象关于直线对称
C.当时,函数的最小值为
D.要得到函数的图象,只需将的图象向右平移个单位
13.设函数f(x)=sin(ωx+φ),,,若存在实数φ,使得集合A∩B中恰好有7个元素,则ω(ω>0)的取值范围是( )
A. B. C. D.
14.在平面直角坐标系中,已知向量,,点在圆上,点的坐标为,若存在正实数满足,则的最小值为( )
A. B.2 C. D.4
15.水车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转筒车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.据史料记载,水车发明于随而盛于唐,距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过秒后,水斗旋转到点,设点的坐标为,其纵坐标满足,则下列叙述正确的是( )
A.
B.当时,函数单调递增
C.当,的最大值为
D.当时,
16.已知锐角中,角,,所对的边分别为,,,若的面积,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
17.函数在上的最小值为( )
A.-1 B. C. D.1
18.在中,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
19.向量,,则的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
20.已知函数的最小正周期为,若在上的最大值为M,则M的最小值为________.
21.已知函数,若对于任意,均有,则的最大值是___________.
22.在中,角的对边分别为,,,若有最大值,则实数的取值范围是______.
23.若函数的定义域存在,使成立,则称该函数为“互补函数”.若函数在上为“互补函数”,则的取值范围为___________.
24.若向量,,则的最大值为 .
24.定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则的最小值为
25.已知函数,其中,,为的零点:且恒成立,在区间上有最小值无最大值,则的最大值是
26.已知函数,若恒成立,则实数a的最小正值为
27.已知的三边分别为,,,所对的角分别为,,,且满足,且的外接圆的面积为,则的最大值的取值范围为__________.
28.已知的面积为,且满足,则边的最小值为_______.
29.设的内角的对边长成等比数列,,延长至,若,则面积的最大值为__________.
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