资源描述
专题01 导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
2．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g(x)≠0)；
3．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【方法总结】
导数运算的原则和方法
基本原则：先化简、再求导；
具体方法：
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
(6)复合函数：由外向内，层层求导．
1
【例题选讲】
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝；
(3)y＝xsincos；
(4)y＝ln(2x－5)．
解析 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x．
(2)y′＝′＝＝－．
(3)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x．
(4)令u＝2x－5，y＝ln u．则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝．
[例2] (1) (2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝．若f′(1)＝，则a＝________．
答案 1 解析 f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝ ．
答案 － 解析 ∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋，将x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝．∴f(x)＝2x2－x＋ln x，∴f(1)＝2－＝－．
(3)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 022(x)等于( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
答案 C 解析 ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x－sin x．故选C．
(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是( )
2
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝x3＋2x－1 D．f(x)＝xex
答案 AB 解析 对于A：f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，∵x∈，∴f″(x)＜0，f(x)在上是凸函数，故A正确．对于B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函数，故B正确；对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在上不是凸函数，故C错误；对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在上不是凸函数，故D错误．故选AB．
(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是( )
A．x2－xln x＋x B．x2－xln x－x C．x2＋xln x＋x D．x2＋2xln x＋x
答案 C 解析 由选项知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得＝1＋，即′＝1＋，故＝x＋ln x＋c(c为待定常数)，即f(x)＝x2＋(ln x＋c)x．又f(1)≥1，则c≥0，故选C．
【对点训练】
1．下列求导运算正确的是( )
A．′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
1．答案 B 解析 (log2x)′＝，故B正确．
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x
2．答案 B 解析 y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．
3．(多选)下列求导运算正确的是( )
A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(sin 2x)′＝2cos 2x
C．()′＝ D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex－＋4x
3．答案 BCD 解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故A错误．由导数公式及运算法则
知B，C，D正确，故选BCD．
4．已知函数f(x)＝＋，则f′(x)＝ ．
4．答案 － 解析 f′(x)＝＋(x－2)′＝＋(－2)x－3＝－．
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsin x，
则f2 019(x)＋f2 021(x)＝( )
A．－2cos x B．－2sin x C．2cos x D．2sin x
5．答案 D 解析 由题意，f(x)＝xsin x，f1(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x，f2(x)＝f′1(x)＝cos x＋cos x－xsin x＝
2cos x－xsin x，f3(x)＝f′2(x)＝－3sin x－xcos x，f4(x)＝f′3(x)＝－4cos x＋xsin x，f5(x)＝f′4(x)＝5sin x＋xcos x，…，据此可知f2 019(x)＝－2 019sin x－xcos x，f2 021(x)＝2 021sin x＋xcos x，所以f2019(x)＋f2 021(x)＝2sin x，故选D．
6．f(x)＝x(2 021＋ln x)，若f′(x0)＝2 022，则x0等于( )
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
6．答案 B 解析 f′(x)＝2 021＋ln x＋x×＝2 022＋ln x，又f′(x0)＝2 022，得2 022＋ln x0＝2 022，则ln x0
＝0，解得x0＝1．
7．已知函数f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，则a＝ ．
7．答案 2 解析 f′(x)＝＋excos x－exsin x＝＋excos x－exsin x，∴f′(0)＝－a＋1＝－1，
则a＝2．
8．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ ．
8．答案 e2 解析 f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2
＝2－ae－2＝1，则a＝e2．
9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( )
A．－2 B．2 C．－ D．
9．答案 C 解析 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解
得f′(2)＝－．
10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．
10．答案 －4 解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4．
11．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝ ．
11．答案 1＋e 解析 因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋
e．
12．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( )
A． B． C． D．－2
4
12．答案 C 解析 因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)
＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝．
13．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x
13．答案 BC 解析 对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y
轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
14．f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．答案 C 解析 f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3x2，所以f′(x)为偶函数，f′(2019)－f′(－2019)
＝0，因为f(x)＋f(－x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3，所以f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)＝3．故选C．
15．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2．若f′(2 020)＝6
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