资源描述
专题01 导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,α≠0)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f′(x)=cos x
f(x)=cos x
f′(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0且a≠1)
f′(x)=axln a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax(a>0且a≠1)
f′(x)=
f(x)=ln x
f′(x)=
2.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有[cf(x)]′=cf′(x);[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);′=(g(x)≠0);
3.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【方法总结】
导数运算的原则和方法
基本原则:先化简、再求导;
具体方法:
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;
(6)复合函数:由外向内,层层求导.
1
【例题选讲】
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=x2sin x;
(2)y=;
(3)y=xsincos;
(4)y=ln(2x-5).
解析 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
(2)y′=′==-.
(3)∵y=xsincos=xsin(4x+π)=-xsin4x,
∴y′=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x.
(4)令u=2x-5,y=ln u.则y′=(ln u)′u′=·2=,即y′=.
[例2] (1) (2020·全国Ⅲ)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=________.
答案 1 解析 f′(x)==,则f′(1)==,整理可得a2-2a+1=0,解得a=1.
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x),f(x)=2x2-3xf′(1)+ln x,则f(1)= .
答案 - 解析 ∵f(x)=2x2-3xf′(1)+ln x,∴f′(x)=4x-3f′(1)+,将x=1代入,得f′(1)=4-3f′(1)+1,得f′(1)=.∴f(x)=2x2-x+ln x,∴f(1)=2-=-.
(3)已知f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则f2 022(x)等于( )
A.-sin x-cos x B.sin x-cos x C.-sin x+cos x D.sin x+cos x
答案 C 解析 ∵f1(x)=sin x+cos x,∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x,f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x,f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x,∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现,∵2 022=4×505+2,∴f2 022(x)=f2(x)=cos x-sin x.故选C.
(4)(多选)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是( )
2
A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=ln x-2x C.f(x)=x3+2x-1 D.f(x)=xex
答案 AB 解析 对于A:f′(x)=cos x-sin x,f″(x)=-sin x-cos x,∵x∈,∴f″(x)<0,f(x)在上是凸函数,故A正确.对于B:f′(x)=-2,f″(x)=-<0,故f(x)在上是凸函数,故B正确;对于C:f′(x)=3x2+2,f″(x)=6x>0,故f(x)在上不是凸函数,故C错误;对于D:f′(x)=(x+1)ex,f″(x)=(x+2)ex>0,故f(x)在上不是凸函数,故D错误.故选AB.
(5)已知f(x)的导函数为f′(x),若满足xf′(x)-f(x)=x2+x,且f(1)≥1,则f(x)的解析式可能是( )
A.x2-xln x+x B.x2-xln x-x C.x2+xln x+x D.x2+2xln x+x
答案 C 解析 由选项知f(x)的定义域为(0,+∞),由题意得=1+,即′=1+,故=x+ln x+c(c为待定常数),即f(x)=x2+(ln x+c)x.又f(1)≥1,则c≥0,故选C.
【对点训练】
1.下列求导运算正确的是( )
A.′=1+ B.(log2x)′= C.(5x)′=5xlog5x D.(x2cos x)′=-2xsin x
1.答案 B 解析 (log2x)′=,故B正确.
2.函数y=xcos x-sin x的导数为( )
A.xsin x B.-xsin x C.xcos x D.-xcos x
2.答案 B 解析 y′=x′cos x+x(cos x)′-(sin x)′=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
3.(多选)下列求导运算正确的是( )
A.(sin a)′=cos a(a为常数) B.(sin 2x)′=2cos 2x
C.()′= D.(ex-ln x+2x2)′=ex-+4x
3.答案 BCD 解析 ∵a为常数,∴sin a为常数,∴(sin a)′=0,故A错误.由导数公式及运算法则
知B,C,D正确,故选BCD.
4.已知函数f(x)=+,则f′(x)= .
4.答案 - 解析 f′(x)=+(x-2)′=+(-2)x-3=-.
5.已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x)(n∈N*),若f(x)=xsin x,
则f2 019(x)+f2 021(x)=( )
A.-2cos x B.-2sin x C.2cos x D.2sin x
5.答案 D 解析 由题意,f(x)=xsin x,f1(x)=f′(x)=sin x+xcos x,f2(x)=f′1(x)=cos x+cos x-xsin x=
2cos x-xsin x,f3(x)=f′2(x)=-3sin x-xcos x,f4(x)=f′3(x)=-4cos x+xsin x,f5(x)=f′4(x)=5sin x+xcos x,…,据此可知f2 019(x)=-2 019sin x-xcos x,f2 021(x)=2 021sin x+xcos x,所以f2019(x)+f2 021(x)=2sin x,故选D.
6.f(x)=x(2 021+ln x),若f′(x0)=2 022,则x0等于( )
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
6.答案 B 解析 f′(x)=2 021+ln x+x×=2 022+ln x,又f′(x0)=2 022,得2 022+ln x0=2 022,则ln x0
=0,解得x0=1.
7.已知函数f(x)=+excos x,若f′(0)=-1,则a= .
7.答案 2 解析 f′(x)=+excos x-exsin x=+excos x-exsin x,∴f′(0)=-a+1=-1,
则a=2.
8.已知函数f(x)=ln(2x-3)+axe-x,若f′(2)=1,则a= .
8.答案 e2 解析 f′(x)=·(2x-3)′+ae-x+ax·(e-x)′=+ae-x-axe-x,∴f′(2)=2+ae-2-2ae-2
=2-ae-2=1,则a=e2.
9.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,则f′(2)的值等于( )
A.-2 B.2 C.- D.
9.答案 C 解析 因为f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,所以f′(x)=2x+3f′(2)+,所以f′(2)=2×2+3f′(2)+,解
得f′(2)=-.
10.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)=________.
10.答案 -4 解析 ∵f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1),∴f′(1)=-2,∴f′(0)=2f′(1)=2×(-2)=-4.
11.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(ln x)=x+ln x,则f′(1)= .
11.答案 1+e 解析 因为f(ln x)=x+ln x,所以f(x)=x+ex,所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+
e.
12.已知f′(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f′(1)·2x+x2,则f′(2)=( )
A. B. C. D.-2
4
12.答案 C 解析 因为f′(x)=f′(1)·2xln 2+2x,所以f′(1)=f′(1)·2ln 2+2,解得f′(1)=,所以f′(x)
=·2xln 2+2x,所以f′(2)=×22ln 2+2×2=.
13.(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x C.f(x)=x+ D.f(x)=ex+x
13.答案 BC 解析 对于A,f(x)=3cos x,其导数f′(x)=-3sin x,其导函数为奇函数,图象不关于y
轴对称,不符合题意;对于B,f(x)=x3+x,其导数f′(x)=3x2+1,其导函数为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;对于C,f(x)=x+,其导数f′(x)=1-,其导函数为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;对于D,f(x)=ex+x,其导数f′(x)=ex+1,其导函数不是偶函数,图象不关于y轴对称,不符合题意.
14.f(x)=+x3,其导函数为f′(x),则f(2020)+f(-2020)+f′(2019)-f′(-2019)的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
14.答案 C 解析 f′(x)=+3x2,f′(-x)=+3x2,所以f′(x)为偶函数,f′(2019)-f′(-2019)
=0,因为f(x)+f(-x)=+x3+-x3=+=3,所以f(2020)+f(-2020)+f′(2019)-f′(-2019)=3.故选C.
15.已知f(x)=ax4+bcos x+7x-2.若f′(2 020)=6
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