新高考数学二轮复习专题04 函数的单调性 (教师版)

专题04　函数的单调性 函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)在区间(a，b)上可导， (1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增； (2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递减； (2)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内是常数函数． 注意：1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． (1)在函数定义域内讨论导数的符号． (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． 考点一　不含参数的函数的单调性 【方法总结】 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【例题选讲】 [例1](1)定义在[－2，2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为－，－，1，，则函数y＝的单调递减区间是(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．(1，2) 答案　B　解析　若虚线部分为函数y＝f(x)的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线) 1 与x轴有三个交点，不符合题意；若实线部分为函数y＝f(x)的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x轴恰好也只有两个交点，符合题意．对函数y＝求导得y′＝，由y′<0，得f′(x)0．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1)． (5)设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案　(－∞，－1)，(0，＋∞)　[－1，0]　解析　∵f(x)＝x(ex－1)－x2，∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－ 1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0．当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0．当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减． (6)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　) A．(－1，1)　　　　B．(0，1)　　　　C．(1，＋∞)　　　　D．(0，＋∞) 答案　B　解析　y＝x2－ln x，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′＜0，得00，当0，∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减． (9)函数f(x)＝2|sinx|＋cos2x在[－，]上的单调递增区间为(　　) A．[－，－]和[0，]　　B．[－，0]和[，]　　C．[－，－]和[，]　　D．[－，] 3 答案　A　解析　由题意，因为f(－x)＝2|sin(－x)|＋cos(－2x)＝2|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，当0≤x≤时，f(x)＝2sinx＋cos2x，则f′(x)＝2cosx－2sin2x，令f′(x)≥0，得sinx≤，所以0≤x≤，由f(x)为偶函数，可得当－≤x≤0时，f(x)单调递减，则在[－，－]上单调递增，故选A． (10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝sin2x　　　　B．f(x)＝xex　　　　C．f(x)＝x3－x　　　　D．f(x)＝－x＋ln x 答案　B　解析　对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，∴函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得00恒成立，∴f(x)在区间(4，5)上单调递增． 4 2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 　 2．答案　D　解析　设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x) 的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<00，即函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增．故选B、C、D． 4．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息： ①f′(x)>0时，－12；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2． 则函数f(x)的大致图象是(　　) 4．答案　C　解析　由题意可知函数f(x)在(－1，2)上单调递增，在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减，故 选C． 5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　) 　 5．答案　D　解析　由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以 5 在(－∞，0)上，f′(x)＞0；在(0，＋∞)上，f′(x)＜0，选项D满足． 6．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　) 　　　　 　　　　　 　　A　　　　　　 　　B　　　　　 　　　C　　　 　　　　　D 6．答案　A　解析　设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0．所以函数f′(x)在R上单调递增，故 选A． 7．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　B．　　　　C．(－∞，－1)　　　　D． 7．答案　B　解析　由y＝4x2＋(x≠0)，得y′＝8x－，令y′>0，即8x－>0，解得x>，∴函数y＝4x2 ＋的单调递增区间为．故选B． 8．函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为 ． 8．答案　(1，＋∞)　解析　f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，＋∞) 时，f′(x)>0；当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． 9．函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 9．答案　(－∞，0)，(ln 2，＋∞)　(0，ln 2)　解析　f(x)的定义域为R，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x) ＝0，得x＝0或x＝ln 2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表， x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2)． 10．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是(　　) A．(0，1)　　　　　B．(1，＋∞)　　　　　C．(－∞，1)　　　　　D．(－1，1) 10．答案　A　解析　∵f′(x)＝2x－＝(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1，∴当x∈(0，1)时，f′(x)<0， f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 11．函数y＝x＋＋2lnx的单调递减区间是(　　) 6 A．(－3，1)　　　　　B．(0，1)　　　　　C