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新高考数学二轮复习专题05 含参函数的单调性讨论 (教师版)
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专题05 含参函数的单调性讨论 【方法总结】 分类讨论思想研究函数的单调性 讨论含参函数的单调性,其本质就是讨论导函数符号的变化情况,所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分,即导数的主要部分,简称导主.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响,一般来说需要进行四个层次的分类: (1)最高次幂的系数是否为0,即“是不是”; (2)导函数是否有变号零点,即“有没有”; (3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内,即“在不在”; (4)导函数的变号零点之间的大小关系,即“大不大”. 牢记:十二字方针“是不是,有没有,在不在,大不大”. 考点一 导主一次型 【例题选讲】 [例1] 已知函数f(x)=x-alnx(a∈R),讨论函数f(x)的单调性. 解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-=,令f′(x)=0,得x=a, ①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ②当a>0时,x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 【对点训练】 1.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).讨论函数f(x)的单调性. 1.解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=,令f′(x)=0,得x=1, 当a>0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当a<0时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减; 当a=0时,f(x)为常函数. 2.已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),讨论函数f(x)的单调性. 2.解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a= (x>0), ①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 1 ②当a>0时,令f′(x)=-a==0,可得x=, 当0
0;当x>时,f′(x)=<0, 故函数f(x)在上单调递增,在上单调递减. 综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减. 考点二 导主二次型 【方法总结】 此类问题中,导数的解析式通过化简变形后,通常可以转化为一个二次函数的含参问题.对于二次三项式含参问题,有如下处理思路: (1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数.如果二次项系数有参数,就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论; (2)其次考虑二次三项式能否因式分解,如果二次三项式能因式分解,这表明存在零点,只需讨论零点是否在定义域内,如果x1,x2都在定义域内,则讨论个零点x1,x2的大小;如果二次三项式不能因式分解,这表明不一定存在零点,需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论; 【例题选讲】 命题点1 是不是+有没有+在不在 [例2] (2021·全国乙节选)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.讨论f(x)的单调性. 解析 由题意知f(x)的定义域为R,f′(x)=3x2-2x+a,对于f′(x)=0,Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a). ①当a≥时,f′(x)≥0,f(x)在R上单调递增; ②当a<时,令f′(x)=0,即3x2-2x+a=0,解得x1=,x2=, 令f′(x)>0,则x
0.讨论f(x)的单调性. 4.解析 由题意知,f(x)的定义域是(0,+∞),导函数f′(x)=1+-=. 设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8. ①当Δ<0,即0
0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数. ②当Δ=0,即a=2 时,仅对x=有f′(x)=0,对其余的x>0都有f′(x)>0. 此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数. ③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,x2=,0
0,试讨论函数f(x)的单调性. 解析 因为f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,所以f′(x)==. 由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)=0得x=1或x=, 若<1,即a>,由f′(x)>0得x>1或0
1,即0
0得x>或0
时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. [例6] 已知函数f(x)=x2e-ax-1(a是常数),求函数y=f(x)的单调区间. 解析 根据题意可得,当a=0时,f(x)=x2-1,函数在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减. 5 当a≠0时,f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 因为e-ax>0,所以令g(x)=-ax2+2x=0,解得x=0或x=. (1)当a>0时,函数g(x)=-ax2+2x在(-∞,0)和上有g(x)<0,即f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减;函数g(x)=-ax2+2x在上有g(x)≥0,即f′(x)≥0,函数y=f(x)单调递增. (2)当a<0时,函数g(x)=-ax2+2x在和(0,+∞)上有g(x)>0,即f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增;函数g(x)=-ax2+2x在上有g(x)≤0,即f′(x)≤0,函数y=f(x)单调递减. 综上所述,当a=0时,函数y=f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0); 当a>0时,函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,0),,单调递增区间为; 当a<0时,函数y=f(x)的单调递增区间为,(0,+∞),单调递减区间为. [例7] 已知函数f(x)=(a+1)lnx+-ax+2(a∈R).讨论f(x)的单调性. 解析 f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=-.令f′(x)=0,得x=1或x=. 当a≤0时,ax-1<0,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当0<a<1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,在上单调递减; 当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>1时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. [例8] 已知函数f(x)=aln(x+1)-ax-x2,讨论f(x)在定义域上的单调性. 解析 f′(x)=-a-2x=, 令f′(x)=0,得x=0或x=-,又f(x)的定义域为(-1,+∞), ①当-≤-1,即当a≥0时, 若x∈(-1,0),f′(x)>0,则f(x)单调递增;若x∈(0,+∞),f′(x)<0,则f(x)单调递减. ②当-1<-<0,即-2<a<0时, 若x∈,f′(x)<0,则f(x)单调递减;若x∈,f′(x)>0,则f(x)单调递增; 6 若x∈(0,+∞),f′(x)<0,则f(x)单调递减. ③当-=0,即a=-2时,f′(x)≤0,f(x)在(-1,+∞)上单调递减. ④当->
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