专题05 含参函数的单调性讨论
【方法总结】
分类讨论思想研究函数的单调性
讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：
(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；
(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；
(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．
牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．
考点一 导主一次型
【例题选讲】
[例1] 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a，
①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．
1．解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，
当a>0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；
当a＝0时，f(x)为常函数．
2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．
2．解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
1
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝＝0，可得x＝，
当0
0；当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
考点二 导主二次型
【方法总结】
此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：
(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；
(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；
【例题选讲】
命题点1 是不是＋有没有＋在不在
[例2] (2021·全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．
解析 由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则x0．讨论f(x)的单调性．
4．解析 由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ<0，即00都有f′(x)>0．此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＝0，即a＝2 时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0．
此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当Δ>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，00，试讨论函数f(x)的单调性．
解析 因为f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，所以f′(x)＝＝．
由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0得x＝1或x＝，
若<1，即a>，由f′(x)>0得x>1或01，即00得x>或0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
[例6] 已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．
解析 根据题意可得，当a＝0时，f(x)＝x2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
5
当a≠0时，f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
因为e－ax>0，所以令g(x)＝－ax2＋2x＝0，解得x＝0或x＝．
(1)当a>0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在(－∞，0)和上有g(x)<0，即f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；函数g(x)＝－ax2＋2x在上有g(x)≥0，即f′(x)≥0，函数y＝f(x)单调递增．
(2)当a<0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在和(0，＋∞)上有g(x)>0，即f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；函数g(x)＝－ax2＋2x在上有g(x)≤0，即f′(x)≤0，函数y＝f(x)单调递减．
综上所述，当a＝0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；
当a>0时，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，，单调递增区间为；
当a<0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为．
[例7] 已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋－ax＋2(a∈R)．讨论f(x)的单调性．
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝．
当a≤0时，ax－1＜0，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜1时，f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a＞1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
[例8] 已知函数f(x)＝aln(x＋1)－ax－x2，讨论f(x)在定义域上的单调性．
解析 f′(x)＝－a－2x＝，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－，又f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
①当－≤－1，即当a≥0时，
若x∈(－1，0)，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；若x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．
②当－1＜－＜0，即－2＜a＜0时，
若x∈，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；若x∈，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
6
若x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．
③当－＝0，即a＝－2时，f′(x)≤0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
④当－＞