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专题14 解析几何多选题
新高考地区专用
1．在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点在圆外
B．圆与轴相切
C．若圆截轴所得弦长为，则
D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为
【答案】ABD
【详解】
对于A，因为时，将原点代入圆方程可得，故点在圆外，故A正确；
对于B，圆化为标准方程即为，则圆心，，
显然圆心到轴距离为等于半径，所以相切，故B正确；
对于C，对根据题意，，解得，解得所以圆截轴所得弦长为，
则，故C不正确；
对于D，当时，圆：，所以点在圆上，显然最小值为，最大值为，
故乘积且等于；当时，由选项A知，点在圆外，，
所以最大值为，最小值为，乘积为，故D正确.
故选：ABD.
2．已知点，直线，圆，圆．下列命题中的真命题是（ ）
A．若l与圆C相切，则A在圆O上 B．若l与圆O相切，则A在圆C上
C．若l与圆C相离，则A在圆O外 D．若l与圆O相交，则A在圆C外
【答案】ABD
【详解】
选项A：若l与圆C相切，则，，所以A在圆O上，A正确；
选项B：若l与圆O相切，则，，所以A在圆C上，B正确；
选项C：若l与圆C相离，则，，所以A在圆O内，C错误；
选项D：若l与圆O相交，则，，所以A在圆C外，D正确．
故选：ABD
3．已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意， ，双曲线的方程为，
“好直线”就是与双曲线有交点的直线，
对于A，联立方程 ，解得 无解，故A不是“好直线”；
对于B，联立方程 ，解得 ， ，故B是“好直线”；
对于C，联立方程 ，解得 ，无解，故C不是“好直线”；
对于D，联立方程 ，解得 ， ，即直线 与双曲线有交点，
故D是“好直线”；
故选BD.
4．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
5．已知曲线的方程为，下列说法正确的是（ ）
A．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 B．曲线可能是圆
C．若，则曲线一定是双曲线 D．若为双曲线，则渐近线方程为
【答案】BD
【详解】解：因为曲线的方程为，
对于A：曲线为焦点在轴上的椭圆，则，即，故A错误；
对于B：当时曲线表示圆，故B正确；
对于C：若，满足，曲线为，表示圆，故C错误；
对于D：若为双曲线，则，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D正确；
故选：BD
6．已知O为坐标原点，椭圆C：的左､右焦点分别为，，两点都在上，且，则（ ）
A．的最小值为4 B．为定值
C．存在点，使得 D．C的焦距是短轴长的倍
【答案】BCD
【详解】解：因为，，，所以，，，
所以,C的焦距是短轴长的倍，D正确.
因为，故关于原点对称，所以，最小值为，故A错误；
所以，由椭圆的对称性知，，所以B正确.
当在轴上时，，则为钝角，所以存在点A，使得，故C正确.
故选：BCD
7．已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
【答案】ACD
【详解】当时，为抛物线的焦点，设，
则，故的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，此时，
故当N，P，M三点共线时，取得最小值，此时，C正确；
当时，，连接AM，并延长AM交抛物线于点，
此时为的最大值，
当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于，
因为，故D正确；
此时当时，，B错误.
故选：ACD
8．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
【答案】AC
【详解】解：由题意得：，所以，因为，故，因为焦点，在y轴上，所以椭圆C的方程为，所以选项A正确，选项B错误；
由通径长可得，，所以选项C正确；
的周长为，所以选项D错误.
故选：AC．
9．过点作两条直线分别交抛物线于和，其中直线AB垂直于轴（其中 ，位于轴上方），直线，交于点．则（ ）
A． B． C．QP平分 D．的最小值是
【答案】ABD
【详解】设点
设直线 的方程为： 将直线方程与抛物线方程联系方程组得：
，故A正确
由题意可知： 则 ，
直线的方程为： ,直线的方程为：
消去得： 将 代入上式得： ，所以 ，故B正确
，但 ，故C错误
当 时，此时 ，故D正确
故选：ABD
10．设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．弦AB长的最小值为4
C．当时，圆C关于直线l对称的圆的方程为：
D．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为
【答案】BC
【详解】直线的方程可化为，过定点，即A错误；
设，则圆心到直线的距离，且半径，
所以最小弦长为，即B正确；
时，直线方程为，则点关于直线对称的点为，即C正确；
当垂足为时，，即D错误．
故选：BC
11．已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（ ）
A．
B．直线与C相交
C．若，则C的渐近线方程为
D．若，则C的离心率为
【答案】AD
【详解】令双曲线的半焦距为c，有，，依题意，，如图，
对于A，，A正确；
直线的斜率，直线是双曲线C过第一三象限的渐近线，
直线与C不相交，B不正确；
对于C，由选项A可得点，设点，依题意，，
即，解得，即，
又点Q在直线上，则有，解得，有，
C的渐近线方程为，C不正确；
对于D，由选项C同理得点，因此，
即，解得，D正确.
故选：AD
12．如图，已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为的是（ ）
A．
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】ABD
【详解】由题意知：，设椭圆离心率为，
对于A，，
即，同除整理得，解得，又，故，A正确；
对于B，，即，即，即，由上知，B正确；
对于C，轴，由，解得，故，，即，
即，解得，则，故离心率，C错误；
对于D，易得内切圆半径为斜边上的高，即，若内切圆过焦点，，则，
整理得，同除得，解得，又，则，故，D正确.
故选：ABD.
13．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为0
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，
因为表示点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，
，，，A，B正确；
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
所以最大值为，又，所以的最大值为，C错，
因为可化为，故可设，，
所以，
所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，
故选：ABD.
14．已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方
C．双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列
D．双曲线上存在点，满足
【答案】AB
【详解】易知双曲线的方程为，令得，故，解得，双曲线的渐近线方程为，即，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取右顶点，右焦点，则顶点到两渐近线距离的积为，
焦点到渐近线距离的平方为，又，，故，B正确；
，，显然，C错误；
若，又由双曲线定义，解得，
故不存在点，满足，D错误.
故选：AB.
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①；②；③PO平分；④点P关于原点对称的点为Q，且，能使双曲线Ｃ的离心率为的条件组合可以是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】AD
【详解】③PO平分且PO为中线，可得，点P在双曲线的右支上，所以不成立；
若选①②：，，可得，，
所以，即离心率为，成立；
若选②④：，点P关于原点对称的点为Q，且，可得四边形为矩形，即，可得，，
所以，即离心率为，成立；
故选：AD
16．双曲线C：的左､右焦点分别为，，若在双曲线C上存在一点M使得为直角三角形，且该三角形某个锐角的正切值为，那么该双曲线的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】ABC
【详解】设焦点的坐标为，由于双曲线是对称图形，故只需要考虑点M在第一象限的情况，此时可分为三类：
①为直角，的正切值为，
此时为通径长度的一半，而，
由正切函数的定义知，双曲线满足，离心率，将三式联立，
可以得到，由于，可以求解得到；
②为直角，的正切值为，此时，，
由正切函数的定义知，同理可得，可以求解得到；
③∵点M在右支，，∴，
∵，∴，∴，∴，，，
又，∴，∴.
故选：ABC.
17．已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为
B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若，则
D．若，则的外接圆半径为
【答案】ABD
【详解】由离心率为，右顶点为可得，，故双曲线C的方程为，A正确；双曲线的渐近线为，故点A到双曲线C的渐近线的距离为，B正确；
由双曲线的定义，，则或10，C错误；
，则，的外接圆半径为，D正确.
故选：ABD.
18．已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长为4 B．面积的最大值为
C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为
【答案】BC
【详解】由题意，，，短轴一个端点，
对于A，由题知，故周长为，故A错误；
对于B，利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确；
对于C，，设，从而,
所以，故C正确；对于D，因为，，
则，，故D错误．
故选：BC．
19．已知Р是圆上的动点，直线与交于点Q，则（ ）
A．
B．直线与圆O相切
C．直线与圆O截得弦长为
D．长最大值为
【答案】ACD
【详解】圆半径为2，，所以，A正确；
圆心到的距离为，与圆相离，B错误；
圆心到直线的距离为，所以弦长为，C正确；
由，得，即，
所以，所以长最大值为，D正确
故选：ACD．
20．设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B．若，则的面积为
C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是
D．若恒成立，则C的离心率的范围是
【答案】
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