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专题14 解析几何多选题
新高考地区专用
1.在平面直角坐标系中,已知圆:,则下列说法正确的是( )
A.若,则点在圆外
B.圆与轴相切
C.若圆截轴所得弦长为,则
D.点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为
【答案】ABD
【详解】
对于A,因为时,将原点代入圆方程可得,故点在圆外,故A正确;
对于B,圆化为标准方程即为,则圆心,,
显然圆心到轴距离为等于半径,所以相切,故B正确;
对于C,对根据题意,,解得,解得所以圆截轴所得弦长为,
则,故C不正确;
对于D,当时,圆:,所以点在圆上,显然最小值为,最大值为,
故乘积且等于;当时,由选项A知,点在圆外,,
所以最大值为,最小值为,乘积为,故D正确.
故选:ABD.
2.已知点,直线,圆,圆.下列命题中的真命题是( )
A.若l与圆C相切,则A在圆O上 B.若l与圆O相切,则A在圆C上
C.若l与圆C相离,则A在圆O外 D.若l与圆O相交,则A在圆C外
【答案】ABD
【详解】
选项A:若l与圆C相切,则,,所以A在圆O上,A正确;
选项B:若l与圆O相切,则,,所以A在圆C上,B正确;
选项C:若l与圆C相离,则,,所以A在圆O内,C错误;
选项D:若l与圆O相交,则,,所以A在圆C外,D正确.
故选:ABD
3.已知点,,若某直线上存在点P,使得,则称该直线为“好直线”,下列直线是“好直线”的是( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【详解】由题意, ,双曲线的方程为,
“好直线”就是与双曲线有交点的直线,
对于A,联立方程 ,解得 无解,故A不是“好直线”;
对于B,联立方程 ,解得 , ,故B是“好直线”;
对于C,联立方程 ,解得 ,无解,故C不是“好直线”;
对于D,联立方程 ,解得 , ,即直线 与双曲线有交点,
故D是“好直线”;
故选BD.
4.已知直线l过点,点,到l的距离相等,则l的方程可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【详解】当直线的斜率不存在时,直线l的方程为,此时点到直线的距离为5,点到直线的距离为1,此时不成立;
当直线l的斜率存在时,设直线的方程为,即,
∵点到直线的距离相等,
,解得,或,
当时,直线的方程为,整理得,
当时,直线的方程为,整理得
综上,直线的方程可能为或
故选:BC.
5.已知曲线的方程为,下列说法正确的是( )
A.若曲线为焦点在轴上的椭圆,则 B.曲线可能是圆
C.若,则曲线一定是双曲线 D.若为双曲线,则渐近线方程为
【答案】BD
【详解】解:因为曲线的方程为,
对于A:曲线为焦点在轴上的椭圆,则,即,故A错误;
对于B:当时曲线表示圆,故B正确;
对于C:若,满足,曲线为,表示圆,故C错误;
对于D:若为双曲线,则,
当时,表示焦点在轴上的双曲线,其渐近线方程为,
当时,表示焦点在轴上的双曲线,其渐近线方程为,故D正确;
故选:BD
6.已知O为坐标原点,椭圆C:的左、右焦点分别为,,两点都在上,且,则( )
A.的最小值为4 B.为定值
C.存在点,使得 D.C的焦距是短轴长的倍
【答案】BCD
【详解】解:因为,,,所以,,,
所以,C的焦距是短轴长的倍,D正确.
因为,故关于原点对称,所以,最小值为,故A错误;
所以,由椭圆的对称性知,,所以B正确.
当在轴上时,,则为钝角,所以存在点A,使得,故C正确.
故选:BCD
7.已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线上,则( )
A.当时,最小值为1
B.当时,的最小值为3
C.当时,的最小值为4
D.当时,的最大值为2
【答案】ACD
【详解】当时,为抛物线的焦点,设,
则,故的最小值为1,A正确;
设抛物线的准线为,过点P作PN⊥l于点N,此时,
故当N,P,M三点共线时,取得最小值,此时,C正确;
当时,,连接AM,并延长AM交抛物线于点,
此时为的最大值,
当在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于,
因为,故D正确;
此时当时,,B错误.
故选:ACD
8.已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点,在y轴上,短轴长等于,离心率为,过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的方程为 B.椭圆C的方程为
C. D.的周长为
【答案】AC
【详解】解:由题意得:,所以,因为,故,因为焦点,在y轴上,所以椭圆C的方程为,所以选项A正确,选项B错误;
由通径长可得,,所以选项C正确;
的周长为,所以选项D错误.
故选:AC.
9.过点作两条直线分别交抛物线于和,其中直线AB垂直于轴(其中 ,位于轴上方),直线,交于点.则( )
A. B. C.QP平分 D.的最小值是
【答案】ABD
【详解】设点
设直线 的方程为: 将直线方程与抛物线方程联系方程组得:
,故A正确
由题意可知: 则 ,
直线的方程为: ,直线的方程为:
消去得: 将 代入上式得: ,所以 ,故B正确
,但 ,故C错误
当 时,此时 ,故D正确
故选:ABD
10.设直线l:,交圆C:于A,B两点,则下列说法正确的有( )
A.直线l恒过定点
B.弦AB长的最小值为4
C.当时,圆C关于直线l对称的圆的方程为:
D.过坐标原点O作直线l的垂线,垂足为点M,则线段MC长的最小值为
【答案】BC
【详解】直线的方程可化为,过定点,即A错误;
设,则圆心到直线的距离,且半径,
所以最小弦长为,即B正确;
时,直线方程为,则点关于直线对称的点为,即C正确;
当垂足为时,,即D错误.
故选:BC
11.已知F为双曲线的右焦点,过F的直线l与圆相切于点M,l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q,则( )
A.
B.直线与C相交
C.若,则C的渐近线方程为
D.若,则C的离心率为
【答案】AD
【详解】令双曲线的半焦距为c,有,,依题意,,如图,
对于A,,A正确;
直线的斜率,直线是双曲线C过第一三象限的渐近线,
直线与C不相交,B不正确;
对于C,由选项A可得点,设点,依题意,,
即,解得,即,
又点Q在直线上,则有,解得,有,
C的渐近线方程为,C不正确;
对于D,由选项C同理得点,因此,
即,解得,D正确.
故选:AD
12.如图,已知椭圆,,分别为左、右顶点,,分别为上、下顶点,,分别为左、右焦点,点P在椭圆C上,则下列条件中能使C的离心率为的是( )
A.
B.
C.轴,且
D.四边形的内切圆过焦点,
【答案】ABD
【详解】由题意知:,设椭圆离心率为,
对于A,,
即,同除整理得,解得,又,故,A正确;
对于B,,即,即,即,由上知,B正确;
对于C,轴,由,解得,故,,即,
即,解得,则,故离心率,C错误;
对于D,易得内切圆半径为斜边上的高,即,若内切圆过焦点,,则,
整理得,同除得,解得,又,则,故,D正确.
故选:ABD.
13.已知实数x,y满足方程,则下列说法正确的是( )
A.的最大值为 B.的最小值为0
C.的最大值为 D.的最大值为
【答案】ABD
【详解】由实数x,y满足方程可得点在圆上,作其图象如下,
因为表示点与坐标原点连线的斜率,
设过坐标原点的圆的切线方程为,则,解得:或,
,,,A,B正确;
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为,
所以最大值为,又,所以的最大值为,C错,
因为可化为,故可设,,
所以,
所以当时,即时取最大值,最大值为,D对,
故选:ABD.
14.已知双曲线的方程为,,分别为双曲线的左、右焦点,过且与x轴垂直的直线交双曲线于M,N两点,又,则( )
A.双曲线的渐近线方程为
B.双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方
C.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列
D.双曲线上存在点,满足
【答案】AB
【详解】易知双曲线的方程为,令得,故,解得,双曲线的渐近线方程为,即,故A正确;
双曲线的渐近线方程为,由双曲线的对称性,不妨取右顶点,右焦点,则顶点到两渐近线距离的积为,
焦点到渐近线距离的平方为,又,,故,B正确;
,,显然,C错误;
若,又由双曲线定义,解得,
故不存在点,满足,D错误.
故选:AB.
15.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P在双曲线的右支上,现有四个条件:①;②;③PO平分;④点P关于原点对称的点为Q,且,能使双曲线C的离心率为的条件组合可以是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
【答案】AD
【详解】③PO平分且PO为中线,可得,点P在双曲线的右支上,所以不成立;
若选①②:,,可得,,
所以,即离心率为,成立;
若选②④:,点P关于原点对称的点为Q,且,可得四边形为矩形,即,可得,,
所以,即离心率为,成立;
故选:AD
16.双曲线C:的左、右焦点分别为,,若在双曲线C上存在一点M使得为直角三角形,且该三角形某个锐角的正切值为,那么该双曲线的离心率可能为( )
A. B. C. D.5
【答案】ABC
【详解】设焦点的坐标为,由于双曲线是对称图形,故只需要考虑点M在第一象限的情况,此时可分为三类:
①为直角,的正切值为,
此时为通径长度的一半,而,
由正切函数的定义知,双曲线满足,离心率,将三式联立,
可以得到,由于,可以求解得到;
②为直角,的正切值为,此时,,
由正切函数的定义知,同理可得,可以求解得到;
③∵点M在右支,,∴,
∵,∴,∴,∴,,,
又,∴,∴.
故选:ABC.
17.已知双曲线C:的离心率为,且其右顶点为,左,右焦点分别为,,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为
B.点A到双曲线C的渐近线的距离为
C.若,则
D.若,则的外接圆半径为
【答案】ABD
【详解】由离心率为,右顶点为可得,,故双曲线C的方程为,A正确;双曲线的渐近线为,故点A到双曲线C的渐近线的距离为,B正确;
由双曲线的定义,,则或10,C错误;
,则,的外接圆半径为,D正确.
故选:ABD.
18.已知椭圆的左右焦点分别为,,左右顶点分别为,.P是椭圆上异于,的点,则下列说法正确的是( )
A.周长为4 B.面积的最大值为
C.的最小值为 D.若面积为2,则点P横坐标为
【答案】BC
【详解】由题意,,,短轴一个端点,
对于A,由题知,故周长为,故A错误;
对于B,利用椭圆的性质可知面积最大值为,故B正确;
对于C,,设,从而,
所以,故C正确;对于D,因为,,
则,,故D错误.
故选:BC.
19.已知Р是圆上的动点,直线与交于点Q,则( )
A.
B.直线与圆O相切
C.直线与圆O截得弦长为
D.长最大值为
【答案】ACD
【详解】圆半径为2,,所以,A正确;
圆心到的距离为,与圆相离,B错误;
圆心到直线的距离为,所以弦长为,C正确;
由,得,即,
所以,所以长最大值为,D正确
故选:ACD.
20.设椭圆C:的左、右焦点分别为、,上、下顶点分别为、,点P是C上异于、的一点,则下列结论正确的是( )
A.若C的离心率为,则直线与的斜率之积为
B.若,则的面积为
C.若C上存在四个点P使得,则C的离心率的范围是
D.若恒成立,则C的离心率的范围是
【答案】
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