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第2讲 力的合成和分解
知识点 力的合成 Ⅱ
1.合力与分力
(1)定义:假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同,这个力就叫作那几个力的合力。假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同,这几个力就叫作那个力的分力。
(2)关系:合力与分力是等效替代关系。
2.共点力
作用在物体的同一点,或作用线相交于一点的几个力。如图1所示均为共点力。
3.力的合成
(1)定义:求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则:求两个力的合成,如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图2甲所示。
②三角形定则:把两个矢量的首尾顺次连接起来,第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量。
如图2乙所示。
知识点 力的分解 Ⅱ
1.定义
求一个力的分力的过程。
2.性质
力的分解是力的合成的逆运算。
3.遵循的原则
(1)平行四边形定则。
(2)三角形定则。
4.分解方法
(1)按力的作用效果分解。
(2)正交分解法。
如图3将O点受力进行分解。
知识点 矢量和标量 Ⅰ
1.矢量
既有大小又有方向,相加时遵从平行四边形定则的物理量。如速度、力等。
2.标量
只有大小,没有方向,相加时遵从算术法则的物理量。如路程、质量等。
一 堵点疏通
1.两个力的合力一定大于这两个力中的任一个。( )
2.力的分解必须按作用效果分解。( )
3.两个力大小一定,夹角越大,其合力越大。( )
4.两个力的合力一定,夹角越大,分力越大。( )
5.既有大小又有方向的量一定是矢量。( )
6.一个力及其分力同时作用于同一物体上。( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.×
二 对点激活
1.(人教版必修第一册·P71·T5改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ,两力的合力为F,以下说法正确的是( )
A.若F1、F2的大小和方向一定,则F的大小和方向一定
B.若F1与F2大小不变,θ角越小,合力F就越大
C.如果夹角θ不变,F1大小不变,只要增大F2,合力F就必然增大
D.合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的
答案 ABD
解析 根据平行四边形定则,若F1、F2的大小和方向一定,则F的大小和方向一定,A正确;若F1与F2大小不变,θ角越小,合力F就越大,故B正确;若θ角为钝角且不变,F1大小不变,增大F2时,合力F可能先变小后增大,如图所示,故C错误;合力与分力的作用效果是相同的,故D正确。
2.(人教版必修第一册·P71·T2改编)有两个力,它们的合力为0。现在把其中一个向东6 N的力改为向南(大小不变),它们的合力大小为( )
A.6 N B.6 N
C.12 N D.0
答案 B
解析 两个力合力为0,其中一个向东的力为6 N,则另一个力向西且大小也为6 N,将向东的6 N的力改为向南,则向西的6 N的力与向南的6 N的力的合力大小为6 N,故B正确。
3.(人教版必修第一册·P71·T4改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力,一个分力在水平方向上并且
大小为240 N,则另一个分力的大小为( )
A.60 N B.240 N
C.300 N D.420 N
答案 C
解析 将竖直向下的180 N的力分解,其中一个方向水平,大小为240 N,由力的三角形定则作图如图所示,其中F=180 N,F1=240 N,则另一个分力F2= N=300 N,故C正确。
4. 如图所示,重力为G的物体静止在倾角为α的斜面上,将重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2,那么( )
A.F1就是物体对斜面的压力
B.物体对斜面的压力方向与F1方向相同,大小为Gcosα
C.F2就是物体受到的静摩擦力
D.物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、F1和F2共五个力的作用
答案 B
解析 F1是重力的一个分力,与物体对斜面的压力性质不同,A错误。物体对斜面的压力与F1方向相同,大小等于F1,且F1=Gcosα,所以B正确。F2与物体受到的静摩擦力等大反向,故C错误。物体受重力、支持力、静摩擦力三个力的作用,故D错误。
考点1 共点力的合成
1.共点力合成的常用方法
(1)作图法:从力的作用点O起,按同一标度作出两个分力F1和F2的图示,再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形,画出过作用点O的对角线,量出对角线的长度,计算出合力F的大小,量出对角线与某一分力的夹角,确定合力F的方向(如图所示)。
(2)计算法:若两个力F1、F2的夹角为θ,如图所示,合力的大小可由余弦定理得:
F=,
tanα=。
几种特殊情况的共点力的合成
类型
作图
合力的计算
互相垂直
F=
tanθ=
两力等大,夹角为θ
F=2F1cos
F与F1夹角为
(当θ=120°时,F=F1)
合力与其中一个分力垂直
F=
sinθ=
2.合力大小的范围
(1)两个共点力的合成:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
即两个力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小,当两个力反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两个力同向时,合力最大,为F1+F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时,其合力最大,为F=F1+F2+F3。
②任取两个力,求出其合力的范围,如果第三个力在这个范围之内,则三个力的合力最小值为零;如果第三个力不在这个范围内,则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。
例1 如图所示是剪式千斤顶,当摇动把手时,螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢,从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N,此时千斤顶两臂间的夹角为120°,则下列判断正确的是( )
A.此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N
C.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将增大
D.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将减小
(1)两个分力大小相等且夹角为120°时,合力与分力的大小关系如何?
提示:合力大小等于分力大小。
(2)当合力一定时,两分力夹角越小,则分力________。
提示:越小
尝试解答 选D。
千斤顶受到的压力等于其两臂受到的压力的合力,由于两臂受到的压力夹角θ=120°,所以两臂受到的压力大小均为1.0×105 N,A错误;由牛顿第三定律可知,千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N,B错误;若继续摇动把手,两臂间的夹角减小,而合力不变,故两分力减小,即两臂受到的压力减小,C错误,D正确。
两种求解合力的方法的比较
(1)作图法求合力,需严格用同一标度作出力的图示,作出规范的平行四边形,才能较精确地求出合力的大小和方向。
(2)计算法求合力,只需作出力的示意图,对平行四边形的作图要求也不太严格,重点是利用数学方法求解,往往适用于两力的夹角是特殊角的情况。
[变式1-1] (多选)两个共点力F1、F2大小不同,它们的合力大小为F,则( )
A.F1、F2同时增大一倍,F也增大一倍
B.F1、F2同时增加10 N,F也增加10 N
C.F1增加10 N,F2减少10 N,F一定不变
D.若F1、F2中的一个共点力增大,F不一定增大
答案 AD
解析 根据求合力的公式F= (θ为F1、F2的夹角),若F1、F2都变为原来的2倍,合力也一定变为原来的2倍,A正确;对于B、C两种情况,力的变化不是按比例增加或减少的,不能判断合力的变化情况,B、C错误;若F1与F2共线反向,F1>F2,则F=F1-F2,F1增大时,F增大,F2增大且小于F1时,F减小,所以D正确。
[变式1-2] 如图所示,F1、F2为有一定夹角的两个力,L为过O点的一条直线,当L取什么方向时,F1、F2在L上的分力之和最大( )
A.F1、F2合力的方向
B.F1、F2中较大力的方向
C.F1、F2中较小力的方向
D.任意方向均可
答案 A
解析 F1和F2在L上的分力之和等效于F1和F2的合力在L上的分力,而要使F1和F2的合力在L上的分力最大,L就应该取这个合力本身的方向,故A正确,B、C、D错误。
考点2 力的分解
1.力的分解常用的方法
正交分解法
效果分解法
分解
方法
将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法
根据一个力产生的实际效果进行分解
实例
分析
x轴上的合力:Fx=Fx1+Fx2+Fx3+…,y轴上的合力:Fy=Fy1+Fy2+Fy3+…,合力大小:
F=,
合力方向:与x轴夹角为θ,则tanθ=
F1=
F2=Gtanθ
F1=mgsinα
F2=mgcosα
F1=mgtanα
F2=
F1=F2=
说明:力的正交分解法建立坐标轴的原则:一般选共点力的作用点为原点,在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(即使尽量多的力在坐标轴上);在动力学中,一般以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
2.力的分解的唯一性和多解性
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个分力的方向(两个分力不共线)
已知合力与一个分力的大小和方向
续表
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向
①当F1=Fsinθ或F1≥F时,有一组解
②当F1<Fsinθ时,无解
③当Fsinθ<F1<F时,有两组解
注:已知合力和两个不在同一直线上的分力的大小,许多同学认为只有如下两种分解。
事实上,以F为轴在空间将该平行四边形转动一周,每一个平面分力方向均有变化,都是一个解,因此,此情形应有无数组解。
例2 (2018·天津高考)(多选)明朝谢肇淛《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可。一游僧见之,曰:无烦也,我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图所示,木楔两侧产生推力FN,则( )
A.若F一定,θ大时FN大 B.若F一定,θ小时FN大
C.若θ一定,F大时FN大 D.若θ一定,F小时FN大
(1)力F产生哪两个作用效果?
提示:木楔两侧均产生推力FN。
(2)对力F进行分解,用哪种方法较简单?
提示:力的效果分解法。
尝试解答 选BC。
选木楔为研究对象,力F的分解如图所示,由于木楔是等腰三角形,所以FN=FN1=FN2,F=2FNcos=2FNsin,故解得FN=,所以F一定时,θ越小,FN越大;θ一定时,F越大,FN越大,故A、D错误,B、C正确。
力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法。一般情况下,物体只受三个力时,用力的效果分解法、合成法解题较为简单,在三角形中找几何关系,利用几何关系或三角形相似求解;而物体受三个以上力的情况多用正交分解法,但也要视题目具体情况而定。
[变式2] 科技的发展正在不断地改变着我们的生活,如图甲是一款手机支架,其表面采用了纳米微吸材料,用手触碰无粘感,接触到平整光滑的硬性物体时,会牢牢吸附在物体上,如图乙是手机静止吸附在支架上的侧视图,若手机的重力为G,则下列说法正确的是( )
A.手机受到的支持力大小为Gcosθ
B.手机受到的支持力不可能大于G
C.纳米材料对手机的作用力大小为Gsinθ
D.纳米材料对手机的作用力竖直向上
答案 D
解析 对手机进行受力分析如图,将重力正交分解,则手机受到的
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