专题强化四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
目标要求 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问题.
题型一 动态平衡问题
1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化,但在变化过程中,每一个状态均可视为平衡状态.
2.做题流程
受力分析画不同状态平衡图构造矢量三角形
3.三力平衡、合力与分力关系
如图,F1、F2、F3共点平衡,三力的合力为零,则F1、F2的合力F3′与F3等大反向,F1、F2、F3′构成矢量三角形,即F3′为F1、F2的合力,也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形.
考向1 “一力恒定,另一力方向不变”的动态平衡问题
1.一个力恒定,另一个力始终与恒定的力垂直,三力可构成直角三角形,可作不同状态下的直角三角形,比较力的大小变化,利用三角函数关系确定三力的定量关系.
基本矢量图,如图所示
例1 (多选)如图所示,在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端紧靠竖直墙,A与竖直墙之间放一光滑圆球B,已知A的圆半径为球B的半径的3倍,球B所受的重力为G,整个装置处于静止状态.设墙壁对B的支持力为F1,A对B的支持力为F2,若把A向右移动少许后,它们仍处于静止状态,则F1、F2的变化情况分别是( )
A.F1减小 B.F1增大
C.F2增大 D.F2减小
答案 AD
解析 以球B为研究对象,受力分析如图所示,可得出F1=Gtan θ,F2=,当A向右移动少许后,θ减小,则F1减小,F2减小,故A、D正确.
2.一力恒定(如重力),另一力与恒定的力不垂直但方向不变,作出不同状态下的矢量三角形,确定力大小的变化,恒力之外的两力垂直时,有极值出现.
基本矢量图,如图所示
作与F1等大反向的力F1′,F2、F3合力等于F1′,F2、F3、F1′构成矢量三角形.
例2 (多选)如图所示,在倾角为α的斜面上,放一质量为m的小球,小球和斜面及挡板间均无摩擦,当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A.斜面对球的支持力逐渐增大
B.斜面对球的支持力逐渐减小
C.挡板对小球的弹力先减小后增大
D.挡板对小球的弹力先增大后减小
答案 BC
解析 对小球受力分析知,小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2,如图,当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中,小球所受的合力为零,根据平衡条件得知,FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反,作出小球在三个不同位置力的受力分析图,由图看出,斜面对小球的支持力FN1逐渐减小,挡板对小球的弹力FN2先减小后增大,当FN1和FN2垂直时,弹力FN2最小,故选项B、C正确,A、D错误.
动态分析常用方法
1.解析法:对研究对象进行受力分析,画出受力示意图,根据物体的平衡条件列方程,得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系),最后根据自变量的变化确定因变量的变化.
2.图解法:此法常用于求解三力平衡问题中,已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况.
考向2 “一力恒定,另两力方向均变化”的动态平衡问题
1.一力恒定(如重力),其他二力的方向均变化,但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行,即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似,则对应边相比相等.
基本矢量图,如图所示
基本关系式:==
例3 如图所示为一简易起重装置,(不计一切阻力)AC是上端带有滑轮的固定支架,BC为质量不计的轻杆,杆的一端C用铰链固定在支架上,另一端B悬挂一个质量为m的重物,并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上.开始时,杆BC与AC的夹角∠BCA>90°,现使∠BCA缓慢变小,直到∠BCA=30°.在此过程中,杆BC所产生的弹力( )
A.大小不变 B.逐渐增大
C.先增大后减小 D.先减小后增大
答案 A
解析 以结点B为研究对象,分析受力情况,作出力的合成图如图,根据平衡条件知,F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反.
根据三角形相似得==
又F合=G得F= G,FN= G
∠BCA缓慢变小的过程中,AB变小,而AC、BC不变,则F变小,FN不变,故杆BC所产生的弹力大小不变,故选A.
2.一力恒定,另外两力方向一直变化,但两力的夹角不变,作出不同状态的矢量三角形,利用两力夹角不变,结合正弦定理列式求解,也可以作出动态圆,恒力为圆的一条弦,根据不同位置判断各力的大小变化.
基本矢量图,如图所示
例4 (多选)(2017·全国卷Ⅰ·21)如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N.初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为
α(α>).现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 以重物为研究对象分析受力情况,受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1,由题意知,三个力的合力始终为零,矢量三角形如图所示,F1、F2的夹角为π-α不变,在F2转至水平的过程中,矢量三角形在同一外接圆上,由图可知,MN上的张力F1逐渐增大,OM上的张力F2先增大后减小,所以A、D正确,B、C错误.
考向3 “活结”的动态分析
如图所示,“活结”两端绳子拉力相等,因结点所受水平分力相等,Fsin θ1=Fsin θ2,故θ1=θ2=θ3,根据几何关系可知,sin θ==,若两杆间距离d不变,则上下移动悬线结点,θ不变,若两杆距离d减小,则θ减小,2FTcos θ=mg,FT=也减小.
例5 如图所示,在竖直放置的穹形支架上,一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点,另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高).则在此过程中绳中拉力大小( )
A.先变大后不变 B.先变大后变小
C.先变小后不变 D.先变小后变大
答案 A
解析 对滑轮受力分析如图甲所示,由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等,即F1=F2,由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等,设为θ,可知:
F1=F2=①
如图乙所示,设绳长为L,由几何关系
即sin θ=②
其中d为两端点间的水平距离,由B点向C点移动过程中,d先变大后不变,因此θ先变大后不变,由①式可知绳中拉力先变大后不变,故A正确.
题型二 平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类:
(1)由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力.
(2)绳子恰好绷紧,拉力F=0.
(3)刚好离开接触面,支持力FN=0.
2.极值问题
平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
3.解题方法
(1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小.
(2)数学分析法:通过对问题的分析,根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析方法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值.
例6 (2020·山东卷·8)如图所示,一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上,质量分别为m和2m的物块A、B,通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接,A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45°时,物块A、B刚好要滑动,则μ的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 A、B刚要滑动时受力平衡,受力如图所示.
对A:FT=mgsin 45°+μmgcos 45°
对B:2mgsin 45°=FT+3μmgcos 45°+μmgcos 45°
整理得,μ=,选项C正确.
例7 如图所示,质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上,在斜向上的拉力F作用下,向右以v0=2.0 m/s的速度做匀速直线运动.已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2,g=
10 m/s2.求所需拉力F的最小值.
答案 2 N
解析 设拉力与水平方向夹角为θ,根据平衡条件Fcos θ=μ(mg-Fsin θ),整理得cos θ+
μsin θ=,sin (α+θ)=(其中sin α=),故所需拉力F的最小值Fmin==2 N.
课时精练
1.如图所示,光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内,A端与水平面相切.穿在轨道上的小球在拉力F作用下,缓慢地由A向B运动,F始终沿轨道的切线方向,轨道对球的弹力为FN.在运动过程中( )
A.F增大,FN增大
B.F减小,FN减小
C.F增大,FN减小
D.F减小,FN增大
答案 C
解析 对小球进行受力分析,它受到重力、支持力和拉力的作用,如图所示:
根据共点力平衡条件有:
FN=mgcos θ,
F=mgsin θ,
其中θ为支持力FN与竖直方向的夹角,当小球向上移动时,θ变大,故FN减小,F增大,故选C.
2.如图所示,在水平放置的木棒上的M、N两点,系着一根不可伸长的柔软轻绳,绳上套有一光滑小金属环.现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度,则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况,下列判断正确的是( )
A.F1和F2都变大
B.F1变大,F2变小
C.F1和F2都变小
D.F1变小,F2变大
答案 C
解析 由于是一根不可伸长的柔软轻绳,所以绳子的拉力相等.木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后,绳子之间的夹角变小,绳对小金属环的合力等于小金属环的重力,保持不变,所以绳子上的拉力变小,选项C正确,A、B、D错误.
3.(多选)(2019·全国卷Ⅰ·19)如图所示,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮.一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块N,另一端与斜面上的物块M相连,系统处于静止状态.现用水平向左的拉力缓慢拉动N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止,则在此过程中( )
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
答案 BD
解析 对N进行受力分析如图所示,因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力FT是一对平衡力,从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大,细绳的拉力也一直增大,选项A错误,B正确;M的质量与N的质量的大小关系不确定,设斜面倾角为θ,若mNg≥mMgsin θ,则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大,若mNg
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