资源描述
一.方法综述
解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题,其解决思路下;
(1)定值问题:[:解决这类问题时,要运用辩证的观点,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性;
一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果;
另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,从而找到解决问题的突破口,将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式,证明该式是恒定的。
(2)定点问题:定点问题是动直线(或曲线)恒过某一定点的问题;一般方法是先将动直线(或曲线)用参数表示出来,再分析判断出其所过的定点.定点问题的难点是动直线(或曲线)的表示,一旦表示出来,其所过的定点就一目了然了.所以动直线(或曲线)中,参数的选择就至关重要.解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二.解题策略
类型一 定值问题
【例1】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD,则+的值为( )
A. B. C.2p D.
【举一反三】
1.已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F的直线与抛物线交于不同的两点A,D,与圆(x﹣1)2+y2=1交于不同的两点B,C(如图),则|AB|•|CD|的值是( )
A.2 B.2 C.1 D.
2.如图,P为椭圆上的一动点,过点P作椭圆的两条切线PA,PB,斜率分别为k1,k2.若k1•k2为定值,则λ=( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的离心率为,三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F,且三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3(k1k2k3≠0).若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1(O为坐标原点),则= .
类型二 定点问题
【例2】已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点,过点A的直线l交y轴的正半轴于点B,且A,B同在一个以F为圆心的圆上,另有直线l′∥l,且l′与抛物线C相切于点D,则直线AD经过的定点的坐标是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,0) D.(2,0)
【举一反三】
1.已知抛物线,过点作该抛物线的切线,,切点为,,若直线恒过定点,则该定点为( )
A. B. C. D.
2.已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线为切点,则直线经过定点.( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左顶点为A,过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点,直线AM、AN的斜率记为,满足,则直线MN经过的定点为___________.
三.强化训练
1.直线与抛物线交于两点,为坐标原点,若直线的斜率,满足,则的横截距( )
A.为定值 B.为定值 C.为定值 D.不是定值
2.如果直线(,)和函数(,)的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.过轴上的点的直线与抛物线交于两点,若为定值,则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知A、B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点,则“•=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的( )
A.充分非必要条件 B.充要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
5.设是双曲线的左右焦点,点是右支上异于顶点的任意一点,是的角平分线,过点作的垂线,垂足为,为坐标原点,则的长为( )
A.定值 B.定值
C.定值 D.不确定,随点位置变化而变化
6.设点是圆上任意一点,若为定值,则的值可能为( )
A. B. C. D.
7.已知圆: ,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线, 为切点,则直线经过定点( )
A. B. C. D.
8.已知圆O:,直线l:y=kx+b(k≠0),l和圆O交于E,F两点,以Ox为始边,逆时针旋转到OE,OF为终边的最小正角分别为α,β,给出如下3个命题:
①当k为常数,b为变数时,sin(α+β)是定值;
②当k为变数,b为变数时,sin(α+β)是定值;
③当k为变数,b为常数时,sin(α+β)是定值.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.斜率为的直线过抛物线焦点,交抛物线于两点,点为中点,作,垂足为,则下列结论中不正确的是( )
A.为定值 B.为定值
C.点的轨迹为圆的一部分 D.点的轨迹是圆的一部分
10.已知抛物线,圆,直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点,则下列各式结果为定值的是( )
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系中,两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值(大于)的点的轨迹可以是( )
A. B. C. D.
12.有如下3个命题;
①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值;
②双曲线的离心率分别是,则是定值;
③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是,则直线过定点;其中正确的命题有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
13.已知为坐标原点,点在双曲线(为正常数)上,过点作双曲线的某一条渐近线的垂线,垂足为,则的值为( )
A. B. C. D.无法确定
14.已知、是双曲线:的左、右两个焦点,若双曲线在第一象限上存在一点,使得,为坐标原点,且,则的值为( ).
A.
B.
C.
D.
15.已知,是双曲线的焦点,是过焦点的弦,且的倾斜角为,那么的值为
A.16 B.12 C.8 D.随变化而变化
16.已知椭圆,,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,,平分角,则与的面积之和为( )
A.1 B. C.2 D.3
17.已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点,且,则直线过定点( )
A. B. C. D.
18.已知椭圆,圆,过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线,切点分别为,直线与轴,轴分别交于点,则( )
A. B. C. D.
19.已知椭圆的左右顶点分别为,过轴上点作一直线与椭圆交于两点(异于),若直线和的交点为,记直线和的斜率分别为,则( )
A. B.3 C. D.2
20.抛物线上两个不同的点,,满足,则直线一定过定点,此定点坐标为__________.
21.已知点,圆点是圆上任意一点,若为定值,则________.
22.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为_____.
23.在平面直角坐标系xOy中,椭圆上一点,点B是椭圆上任意一点(异于点A),过点B作与直线OA平行的直线交椭圆于点C,当直线AB、AC斜率都存在时,=___________.
24.为圆上任意一点,异于点的定点满足为常数,则点的坐标为______.
25.在平面直角坐标系中,为坐标原点,、是双曲线上的两个动点,动点满足,直线与直线斜率之积为2,已知平面内存在两定点、,使得为定值,则该定值为________
26.椭圆:的左顶点为,点是椭圆上的两个动点,若直线 的斜率乘积为定值,则动直线恒过定点的坐标为__________.
27.已知双曲线的右焦点为,过点的直线与双曲线相交于、两点,若以线段为直径的圆过定点,则______.
28.双曲线的左右顶点为,以为直径作圆,为双曲线右支上不同于顶点的任一点,连接交圆于点,设直线的斜率分别为,若,则_____.
29.过双曲线的右焦点的直线交双曲线于、两点,交轴于点,若,,规定,则的定值为.类比双曲线这一结论,在椭圆中,的定值为________.
30.若M,P是椭圆两动点,点M关于x轴的对称点为N,若直线PM,PN分别与x轴相交于不同的两点A(m,0),B(n,0),则mn=_________.
31.椭圆:的左顶点为,点是椭圆上的两个动点,若直线 的斜率乘积为定值,则动直线恒过定点的坐标为__________.
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