2022年第39届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案（理论+实验考试）

第5页/共4页 第39届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题 2022 年 10 月 29 日上午 9:00-12:00 一、（40分）如图la, 一段抛物线形状的刚形金属丝固定在竖直平而内，抛物线 方程为y =履 顷轴竖直向上，。为待定常量）：一长度为2/的匀质刚性细杆的 两端A、B各有一个小圆孔，两圆孔都套在金属丝上。圆孔和金属丝之间非常光 滑，摩擦力非常小，在问题（1）、（2）和（3）中可忽略。若给细杆一个冲量， 使其运动；经过足够长的时间，细杆静止于平衡位置，此时细杆和水平方向之间 的夹角0 = 30。。已知重力加速度大小为g ° （1） 求待定常量0： （2） 若杆在上述平衡位置附近小幅振动，求振动的频率； （3） 细杆静止在上述平衡位置。现有一只小白鼠，从静止开始由杆底端沿杆往 图la 上爬。在爬杆的过程中，细杆始终保持静止：假设小白鼠可视为质点，且小白鼠 在杆端不接触金属丝。求小白鼠在时刻，（以小白鼠开始爬杆的时刻为时刻零点）沿细杆的位移Mf）,小白鼠是否 可以爬到细杆顶端？如果可以，小白鼠爬到细杆顶端，最少用时多少？ 二、（60分）动能为K的粒子1 （入射粒子）从无穷远处入射，与静止的粒子2 （靶粒子）发生弹性碰撞，碰撞后 粒子1的动能和运动方向都发生了变化。不考虑重力。 （1） 散射后（无穷远处）粒子1的动能为K；, k = §称为运动学因子。试给出*的取值范围。 （2） 本问釆用牛顿力学理论。 （i） 将散射后粒子1的运动方向（散射方向）与入射方向之间的夹角（散射角）记为0。将粒子2与粒子丨的 质量之比记为R。对于任意给定的R, k是。的函数。分别在R>1、R = l和R<1三种情形下，导出k对。的依赖 关系W）,并给出8的取值范围。 （ii） 在某些R取值范围中，&可能是。的多值函数（每种函数形式称为化函 数的一个分支）。要确定&的值，需要补充描述两粒子相互作用部分细节的参量。 釆用最简单的硬球模型，即把发生碰撞的两个粒子都视为表面光滑的匀质刚球， 它们只在碰撞时有相互作用。设两粒子半径之和为A,靶粒子2的质心到入射粒 子1中心的速度所在直线的距离为b （瞄准距离），如图2a所示。试求A （用R、 图2a.瞄准距离方的几何示意图 A和力表出），并用“擦边而过”和“对心碰撞”这两种特殊情形来验证可由方的 取值判断同一个。下k（0）所在的分支。求出k{0）各分支所对应的8的取值范围。 （3） 设两粒子（可视为质点）的静止质量均为码。粒子1的入射速度很快，以至于需要考虑相对论效应。真空中 的光速为c。 （i） 求散射角为。时的运动学因子灯。），并与牛顿力学的结果进行比较。 （ii） 求碰后粒子1、2速度之间的夹角。与K；的关系，。在何种情况下取极值？并判断极值的性质（极大或 极小），给出该极值以及相应的。值。 （注：解题涉及到需要进行区分的物理量时，用脚标1和2区分粒子，用不加加"…分别表示碰撞前、 后的物理量。最终表达式中涉及到的三角函数一律采用余弦函数，且不含半角、倍角表示。） 三、（60分）一匀质刚性细圆环半径为R,质量为材.在水平地面（X-），坐标平面）上滚动。假定摩擦系数足够大， 以至于圆环和地面之间始终无滑动。记，时刻圆环所在平面与竖直方向（z方向）之间的夹角为6（7）,圆环所在平面与地面之间的交线相对于X方向的夹角为衣。，圆环与地面的 瞬时接触点的直角坐标为（尤（。，火。,0）,如图3a所示。重力加速 度大小为g。 （1） 描述任意t时刻圆环空间位置的X。）、y（r）、仇。、的）并非完 全相互独立，试求岀它们及其对时间的一阶导数之间的所有约朿 条件。 （2） 设圆环做“匀速圆周运动”，圆环与地面的接触点以恒定速 率绕z轴画出一个半径为「的圆，（。为常量），0。）是时 间t的线性函数。在实验室参考系E中，不失一般性可设 冲Wsin（効）\ \y（0/ 一 \ cos（wt）） 这里。是待求的角速度。在绕Z轴以角速度3匀速旋转的转动参考 系Z中，。和。均为常量，圆环绕垂直于环面的中轴线做定轴转动。在参考系中，圆环上各质元会“感受”到离 心力和科里奥利力的作用。将圆环视为许多微元的集合，求所有微元所受到的离心力的合力孩、科里奥利力的合 力此瓜以及相对于圆环质心的离心力的合力矩七心、科里奥利力的合力矩t■科氐（结果可包含尚未求出的口）。 （3） 求（2）中的口以及地面对圆环施加的作用力（结果不得包含②）。 （4） 圆环高速滚动时，圆环可在竖直平面附近摆动而不倒下，具有较好的稳定性，从而圆环质心可近似视为沿直 线运动，设该直线沿x轴方向，质心速度大小约为常量V,即质心位置坐标x（t） = Kt + 5x（t）,而故（t）、y（t）、0（t）、©（t） 均为小量（注意，它们可能并非是同阶小量）。导出保留到最低阶小量的圆环的运动方程。假设最低阶小量按余弦 函数随时间变化，求变化的角频率口：并确定保持圆环运动稳定所需的常量V的最小值Mmin。 四、（60分）自由电子激光器是以自由电子束为工作物质，将相对论性电子朿的动能转变成相「•辐射能的装置，它 在科研、生产等领域中都具有重大应用前景。如图4a,自由电子激光器的基本结构有三个部分：电子束加速器、扭 图4a 摆器和光学谐振腔；其中扭摆器是自由电子激光器的核心部分，它由沿z方向按空间周期刀排列的永磁体组成，产 生周期性横向静磁场，磁感应强度方向沿尤轴，大小为 "=5夸 z） 电子束经过加速器加速到预定的速率％,由弯曲磁体引导，沿;:轴正方向注入扭摆器，高速运动的电子在扭摆器中 受到交变磁场的作用做扭摆运动，同时辐射相干电磁波。设辺不太强，磁场对电子运动速度的改变量的大小远小于 %,且电子束相干辐射电磁波对电子动能的损耗可忽略不计。电子的静止质量为％,电子所带电量为-e。不计重 力。 （1）建立参考系，使乎相对于实验室参考系S（A-.y.z）沿z轴正方向以大小为既的速度做匀速直线运动， ▼轴和x轴、v轴和），轴两两相互平行，y轴和z轴重合。利用前述近似条件，在参考系s，中求出电子在r时刻的 位置坐标（r,y,z，），并画出电子运动轨迹示意图。 （2） 如果扭摆器磁场的空间变化周期4 = 1 mm （可视为准确值），沿z 轴正方向辐射X激光的波长为4.00 A,求电子束加速器的加速电压。 已知电子静止质量处=9.11x10项kg,单位电荷量0 = 1.60x10-2 C。 （3） 用波长为4.00 A的激光作为入射光（可视为平而波），如图4b所 示。在x-z平面内有等边菱形组成的共面二维品体，菱形的边长4 =8.00 A，两顶角各为60。、120%设二维晶体对入射波的散射较弱，可忽略 散射波再次被散射的影响，试问在x-z平面内远处可以观察到多少衍射 主级峰？并求相应主级峰的方位（用图4b中的0表示）。 已知：在两惯性参考系S，（ry,z。、S（x,y,z）中电磁场的变换关系为 式中c = 3.00xl0sm/s是真空中的光速。 五、（50分）光在单轴晶体内传播呈现各向异性，按照偏振状态，可 分为。光（寻常光）和e光（非常光）。单轴晶体内有一特定取向，光 沿此方向传播时。光和e光的传播速度相同，传播方向不发生分髙， 该方向称为品体光轴。。光在晶体内感受到的折射率各向同性，为，"， 波速各向同性为马=c/〃“（c为真空中的光速）；。光在垂直于光轴的 方向传播感受到的折射率为七，波速为外=3为。当e光的传播方向 介于平行于和垂直于光轴之间时，其感受到的折射率随其与光轴的夹 角单调变化。对于晶体内点源或惠更斯原理中的次波源，其发出的光 的波前是以光轴为对称轴的旋转椭球面。如图5a,建立y轴与光轴取 向重合的直角坐标系，以下对〃光和e光传播过程的分析仅限于在 截面内的情形。 （1）根据惠更斯原理作图。 空气 9 /<_ /e / 光轴，/ 、、、、、 晶体 、、X 图5a 晶体表而法线方向与光袖的夹角为0。画出 在图5a中，真空波长为人的平面光波从空气正入射到晶体表面, 在晶体内传播的〃光与e光的波前。标出分别与〃光、e光对应的波矢&的方向（次波等相位而的包络面的法 线方向，即等相位面的传播方向），以及由惠更斯原理确定的对应光线的传播方向虬、取〃,＞〃,，将〃光和e 光的传播情况示于同一图中。 （2） 记。光的光线传播方向N,与光轴之间的夹角为导出£和。两个角度的正切之间的关系。 （3） 一种名为BBO的单轴晶体的折射率色散曲线方程为（2为真空波长，以卩m为单位）： 万（/1） = 2.7359+ —-0.01354万 22-0.01822 （2） = 2.3753+ — -0.01516/P 八 A2-0.01667 分别求貞空波长为800.0 nm和400.0 nm时，BBO单轴晶体中的.和n,。 （4）光学晶体的重要作用之一是实现频率转换，例如光学倍频过程，它是指两个同频率的基频光子转换为一个频 率加倍的倍频光子，这个过程须满足能量守恒和动量守恒。在晶体中，波矢为A的光子的动量也可表示为卩=/正， 其中人为约化普朗克常量。 （4.1） 试表出倍频过程中基频光子波矢馅与倍频光子波矢处之间的关系。 （4.2） 利用BBO晶体，将真空波长为800.0 nm的光波倍频为真空波长为400.0 nm的光波，基频光和倍频光可各 自选为。光或e光，试给出实现此倍频过程的选择方案。 （5） 按照图5a的方式设置BBO晶体，使晶体表面法线与光轴夹角为。，让真空波长为800.0 nm的基频光以平面 波形式垂直入射到此品体，角度。取值多大可以满足动量守恒条件，从而产生真空波长为400.0nm的倍频光？ （6） 计算（5）中e光波矢伫和传播方向N.之间的夹角a。 六、仅考虑单一组分、单原子分子组成的非相对论性气体。 对上述气体，若忽略分子的大小以及除碰撞瞬间外分子间的相互作用，则可用理想气体模型描述；若考虑到分 子的实际大小及其间的非碰撞相互作用，则理想气体模型不再适用。对此，范徳瓦尔斯构建了范徳瓦尔斯模型，该 模型下，1 mol气体的状态方程（称为范德瓦尔斯方程）为 （P+令）（o-b）=RT 其中T、p和”分别表示气体的温度、压强和体积（即容器容积），是理想气体普适常量，〃和b是大于零的常量。 在稀疏极限（对于任意给定的T, UT8）下，该模型退化为理想气体模型。 （1） 试直接给出b的物理含义（不必给出分析过程）。设气体分子可视为半径为r的刚性小球（按范德瓦尔斯模型， 小球间有微弱的引力），试估计b的取值。己知阿伏伽德罗常数为Na。 （2） 直接写出Nmol、体积为V的范德瓦尔斯气体的状态方程（表达式中不可出现摩尔体积 （3） 设气体的定容摩尔热容为。，「满足 式中〔聲）表示当7■视为常量时q对。的一阶导数，（祭）表示当。视为常量时R对r的二阶导数，余类推。 试证明范德瓦尔斯气体的定容摩尔热容q为常量，并确定此常量。（此常量的具体形式不必代入后续计算） （4） 已知1 mol范德瓦尔斯气体的内能“为 U = CyT » V 试导出其摩尔爛s（T,a）的表达式，其中可含有待定常量。试给出该气体经历准静态绝热过程的方程（用7和。表出， 表达式中可含有待定常量）。 （5） 1 mol范德瓦尔斯气体经历如下可逆卡诺循环过程： 过程I——等温膨胀：温度为7],体积由q变为外 过程II—绝热降温：温度由7；降为7；,体积由o’变为％ 过程III——等温压缩：温度为7；,体积由％变为％ 过程IV——绝热升温：温度由7；升为7；,体积由％变为q 试计算该循环过程的吸热量Q、放热量Q和循环效率〃（最终将〃表示为仅依赖于K和7；的函数）。 （6） 定义等温压缩系数为 (dv 侦P丿 试推出范德瓦尔斯气体的等温压缩系数kt（T,v）的表达式；以满足条件a«pv2的范德瓦尔斯气体为例，求写的取 值范围，并