2021年高考数学经典例题专题七立体几何与空间向量【含答案】

专题七 立体几何与空间向量 一、单选题 1．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． C 求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即， 所以，这个球的表面积为. 故选：C. 本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 2．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）． A． B． C． D． D 首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可. 【详解】 由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形， 则其表面积为 故选：D. 3．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ） A． B． C．3 D．6 A 根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积. 【详解】 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为： . 故选：A 4．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． A 由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】 设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 5．如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ） A． B． C． D． A 根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点. 【详解】 根据三视图，画出多面体立体图形， 上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N, ∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为. 故选：A 6．四面体的顶点，，，在同个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． C 过外接圆，作直线平面，可得，在中，利用余弦定理求出，再由正弦定理求出外接圆半径，利用勾股定理求出外接球半径，根据球的表面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，作外接圆， 过作直线平面，又平面， ，连接，并延长交球于， 连接，与的交点为球心，， 则， 在中，由余弦定理得 ， ， 又由正弦定理得(为外接圆半径)， ， . 故选：C. 7．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A．20° B．40° C．50° D．90° B 画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角. 【详解】 画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.. 由于，所以， 由于， 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为. 故选：B 8．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． C 根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】 设球的半径为，则，解得 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：C. 9．在三棱锥中，平面，，是的中点．若，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． C 根据线面角的定义找到直线与平面所成角的平面角，法一：应用几何法，根据线面垂直的性质、勾股定理求对应边，在直角三角形中求线面角的正弦值；法二：应用向量法，构建空间直角坐标系，并确定线面角两边所在直线的方向向量坐标，进而求其余弦值，由同角三角函数关系求正弦值. 【详解】 在三棱锥中，平面，面， ∴，又，， ∴平面，即即直线与平面所成角． 法一：设，由，，得， ∴，．又是的中点，则， ∴在中，． 又易知，在中，， ∴. 法二：过点在平面内作．易知直线，，两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，，有，，， ∴，，则， ∴. 故选：C． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． B 如图所示， 点M为三角形ABC的中心，E为AC中点， 当平面时，三棱锥体积最大 此时， , 点M为三角形ABC的中心 中，有 故选B. 二、多选题 11．矩形中，，，将沿折起，使到的位置，在平面的射影恰落在上，则（ ） A．三棱锥的外接球直径为 B．平面平面 C．平面平面 D．与所成角为 AB 根据面面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理结合对选项BCD逐一进行分析，对A选项注意确定球心位置，然后利用勾股定理求解外接球的直径. 【详解】 由题意，平面，又，，∴平面．故D错误； 又，，可得平面，又平面平面平面．故B正确； 对C，若平面平面，则由平面与矛盾，故C错误； 取中点为．则，故为三棱锥的外接球球心， 所以直径，故A正确． 故选：AB 三、填空题 12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________ 利用计算即可. 【详解】 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点 所以 故 13．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若用一小桶油漆刚好可以涂该二十四等边体的表面一遍，则用该小桶油漆去涂与该二十四等边体棱长相等的正四面体魔方表面(也是涂一遍)，那么至少可以涂___________个这样的正四面体魔方.(结果取整数) 设二十四等边体的棱长为，计算其表面积，再计算正四面体魔方的表面积，即可解得. 【详解】 设该二十四等边体的棱长为，则正四面体魔方的棱长也为，则该二十四等边体的表面积为，正四面体的表面积为，而，所以至少可以涂个这样正四面体魔方. 故5. 14．已知三棱锥中，、、三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为______． 采用数形结合，然后利用弧长公式计算即可. 【详解】 由题可知：、、三条棱两两垂直，且长度均为 如图： 所以 ， 所以，则 所以，则 所以球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为 故 15．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． . 根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果. 【详解】 如图： 取的中点为，的中点为，的中点为， 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以， 因为，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 因为，所以， 所以根据弧长公式可得. 故答案为 16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】 易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为， 由于，故， 设内切圆半径为，则： ， 解得：，其体积 故答案为 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 17．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________． 共26个面. 棱长为. 由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面． 如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形， ， ，即该半正多面体棱长为． 18．四面体的顶点、、、在同个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为___________. 利用余弦定理计算出，利用正弦定理计算出的外接圆半径，利用公式可计算出四面体的外接球半径，利用球体面积可求得结果. 【详解】 如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心. 可将三棱锥放在圆柱内 ，使得圆为的外接圆，点在圆上， 由余弦定理可得，则， 所以，的外接圆直径为，, 平面，所以，四面体的外接球半径为， 因此，四面体的外接球的表面积为. 故答案为 方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底