2021-2022学年广东省汕头市大坑中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年广东省汕头市大坑中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当时，则的值为 A           B             C        D 参考答案： B 2. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的b=（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 参考答案： C 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件， 当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件， 当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件， 当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件， 故输出的b值为32． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题． 3. 的展开式中与的系数相等，则= （A）6          （B）7          （C）8      （D）9 参考答案： B 本题主要考查二项定理、组合数的应用，以及考查方程的思想、转化的思想，同时考查逻辑思维能力及运算能力．难度较小． 方法1由题意可得C35＝C36，即C＝3C，即＝3·，即＝，解得n＝7． 方法2当n＝6时，x5项的系数为C35＝1456，x6项的系数＝C36＝729，显然不成立．当n＝7时，x5项的系数为C35＝5103，x6项的系数＝C36＝5103，满足条件． 4. 已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．（﹣∞，0） D． 参考答案： D 【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系． 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合求解即可． 【解答】解：函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点， 即f（x）=k，只有一个解，在平面直角坐标系中画出，y=f（x）的图象， 结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈（﹣∞，0）∪（，2），答案为D， 故选：D． 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的图象以及函数的零点的关系，考查转化思想以及数形结合的应用． 5. 设函数，其中，则导数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 参考答案： D 6. 如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，；点沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 设运动点三等分点的时间为，此时运动的距离为，运动点中点的时间为，此时运动的距离为，再利用做匀速运动，利用路程除以速度可得时间. 【详解】设运动点三等分点的时间为，此时运动的距离为，运动点中点的时间为，此时运动的距离为， 两点，以相同的初速度运动，设点的运动速度为， ，， ，， ， 故选：D. 【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 7. 如图，已知双曲线：的左焦点为，为虚轴的一端点.若以为圆心的圆与的一条渐近线相切于点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2               B．            C．        D． 参考答案： D 8. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝(　　) A．＋p        B．1－p        C．1－2p       D．－p 参考答案： D 略 9. 若i为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是(　　) A．－i  　　　B.i     C．－i  　　　D．i 参考答案： C 略 10. 已知，，则（   ） A．{－2,－1}          B．{－2}        C．{－1,0,1}         D．{0,1} 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________. 参考答案： 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,,则,所以，，所以，，所以。 12. 若关于x的不等式存在实数解，则实数a的取值范围是            参考答案： 13. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________． 参考答案： 【分析】 先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果. 【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点， 当直线斜率存在时，设的方程为，， 由得：，整理得， 所以，， 所以； 当直线斜率不存在时，易得； 综上，当直线与轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小； 因此，所求方程为. 故答案为 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型. 14. 已知点P(x0, y0) 在椭圆C：(a>b>0)上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：． 根据以上性质，解决以下问题： 已知椭圆L：，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是   ▲   ． 参考答案： 15. 如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为     ． 参考答案： 考点：余弦定理． 专题：综合题． 分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案． 解答： 解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3， 由余弦定理得cos∠ADC==﹣， ∴∠ADC=120°，∠ADB=60° 在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°， 由正弦定理得 ， ∴AB= 故答案为：． 点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题． 16. 已知则的值为           ． 参考答案： 16/17 因为 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是　　． 参考答案： ． 【分析】由B2F⊥AB1，可得?=0，即可得出． 【解答】解：F（c，0），A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）， ∴=（﹣c，b），=（a，b）， ∵B2F⊥AB1，∴?=﹣ac+b2=0， ∴a2﹣c2﹣ac=0， 化为：e2+e﹣1=0，0＜e＜1． 解得e=， 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）如图，三棱柱ABC﹣DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点． （Ⅰ）求证：CE∥平面AGF； （Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC； （Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】： 空间位置关系与距离；空间角． 【分析】： （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面AGF； （Ⅱ）根据线面垂直的判定定理即可证明GB⊥平面BEFC； （Ⅲ）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论． （Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG． 因为G为DE的中点， 所以HG∥CE． 因为CE平面AGF，HG平面AGF， 所以CE∥平面AGF．            （Ⅱ）证明：BE=1，GE=2，在△GEB中，∠GEB=60°，BG=． 因为BG2+BE2=GE2， 所以GB⊥BE． 因为侧面BEFC⊥侧面ADEB， 侧面BEFC∩侧面ADEB=BE， GB?平面ADEB， 所以GB⊥平面BEFC．                   （Ⅲ）解：BG，BE，BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B﹣xyz． 假设在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°． 平面BGE的法向量m=（0，0，1），设P（0，0，λ），λ∈[0，1]． ，E（0，1，0）． 所以=（﹣，0，λ），． 设平面PGE的法向量为n=（x，y，z），则 所以 令z=1，得y=λ，， 所以PGE的法向量为． 因为m?n=1， 所以， 解得∈[0，1]，故． 因此在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，且． 【点评】： 本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，以及空间二面角的求解和应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法． 19. (本题满分13分)已知函数． (Ⅰ)求的最小正周期和值域； (Ⅱ)若为的一个零点，求的值． 参考答案： （1）------2分           ＝---------------4分       ∴周期，值域为；-------------------6分 （2）由得， 又由得---------------------8分 ∴故， -------------10分       此时，                   ．-------------------------13分   略 20. （本题满分16分）设函数，其中    （1）求当时，曲线在点处的切线的斜率；    （2）求函数的单调区间与极值；    （3）已知函数有3个不同的零点，分别为0、、，且，若对任意的，恒成立，求的取值范围。 参考答案： （1）    （2）减区间为，；增区间为          函数在处取得极小值，          函数在处取得极大值，    略 21. （本小题满分13分） 已知， （1）求的单调区间； （2）当a=1时， ①