2021-2022学年山东省聊城市临清第三中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，均是锐角，且，已知，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
参考答案：
A
2. 若a>0且a≠1，且，则实数a的取值范围是 （ ）
A．0
1
参考答案：
D
3. 已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
4. 过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( )
A．y＋2＝(x＋1) B．y－2＝(x－1)
C.x－3y＋6－＝0 D.x－y＋2－＝0
参考答案：
C
5. 已知函数的周期为2，当，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（ ）
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
参考答案：
A
略
6. 已知 =，则的值等于( )
A． B．－ C． D．±
参考答案：
A
7. 某型号汽车使用年限x与年维修费y（单位：万元）的统计数据如下表，由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据看不清，推测该数据的值为（ ）
使用年限(x)
1
2
3
4
5
维修费(y)
0.2
0.5
0.4
0.8
A. 0.4 B. 0.5
C. 0.6 D. 0.7
参考答案：
C
【分析】
设所求数据为，计算出和，然后将点代入回归直线方程可求出的值.
【详解】设所求数据为，则，，
由于回归直线过样本的中心点，则有，
解得，故选：C.
【点睛】本题考查利用回归直线计算原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
8. 已知sin＝，则sin－cos的值为( )．
A．－ B．－ C. D.
参考答案：
B
9. 在右图程序中，要使输入的X和输出的Y值相等，则满足条件的
X的个数是
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
参考答案：
C
10. 函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=3ax﹣1在[0，1]的最大值是（ ）
A．6 B．1 C．5 D．
参考答案：
C
【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．
【分析】本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=ax在[0，1]上为单调减函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a②a＞1，函数y=ax在[0，1]上为单调增函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a，最后代入函数y=3ax﹣1，即可求出函数y=3ax﹣1在[0，1]上的最大值．
【解答】解：①当0＜a＜1时
函数y=ax在[0，1]上为单调减函数
∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a
∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3
∴1+a=3
∴a=2（舍）
②当a＞1时
函数y=ax在[0，1]上为单调增函数
∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1
∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3
∴1+a=3
∴a=2
∴函数y=3ax﹣1=6x﹣1在[0，1]上的最大值是5
故选C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知则 ▲ .
参考答案：
略
13.已知则=_____________ .
参考答案：
略
13. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ．
参考答案：
14. 已知函数f（x）=3x﹣1，x∈{x∈N|1≤x≤4}，则函数f（x）的值域为 ．
参考答案：
{2，5，8，11}
【考点】函数的值域．
【分析】根据x∈{x∈N|1≤x≤4}，确定x的值，可求出函数f（x）的值域．
【解答】解：由题意：x∈{x∈N|1≤x≤4}={1，2，3，4}．
函数f（x）=3x﹣1，
当x=1时，f（x）=2；
当x=2时，f（x）=5；
当x=3时，f（x）=8；
当x=4时，f（x）=11；
∴函数f（x）的值域为{2，5，8，11}．
故答案为：{2，5，8，11}．
15. 我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列满足如下两个条件：
（1）数列为上凸数列，且；
（2）对正整数（），都有，其中.
则数列中的第五项的取值范围为 .
参考答案：
略
16. 若，是第四象限角,则＝_______
参考答案：
略
17. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P - EFGH，下部分是长方体ABCD - EFGH. 图5和图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。
（I）请画出该安全标识墩的侧(左)视图；
（II）求该安全标识墩的体积；
（III）证明: 直线BD平面PEG。
参考答案：
（1）侧视图同正视图,如下图所示.
……………4分
（2）该安全标识墩的体积为：
…8分
（3）如图，连结EG，HF及 BD，EG与HF相交于O，连结PO.
由正四棱锥的性质可知,
平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG． ………………12分
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
（3）求函数在区间[﹣5，5]上的最小值g（a）．
参考答案：
考点： 二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）当a=﹣1时，根据函数f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[﹣5，5]，利用二次函数的性质求得函数f（x）取得最值．
（2）由于函数f（x）对称轴为 x=﹣a，要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，应有﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，由此求得a的范围．
（3）分当﹣a≤﹣5、当﹣5≤﹣a≤5时、当﹣a≥5时三种情况，分别利用二次函数的性质求得g（a）．
解答： （1）当a=﹣1时，∵函数f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[﹣5，5]，
故当x=1时，函数f（x）取得最小值为1，当x=﹣5时，函数f（x）取得最大值为 37．
（2）由于函数f（x）=x2+2ax+2的对称轴为 x=﹣a，要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，
应有﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，解得a≥5，或a≤﹣5，即a的范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．
（3）由于函数在区间[﹣5，5]上的最小值为g（a），
故当﹣a≤﹣5，即a≥5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上是单调增函数，故最小值g（a）=f（﹣5）=27﹣10a．
故当﹣5≤﹣a≤5，即5≥a≥﹣5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上的最小值g（a）=f（﹣a）=2﹣a2．
故当﹣a≥5，即a≤﹣5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数，故最小值g（a）=f（5）=27+10a．
综上可得，当a≥5时，g（a）=f（﹣5）=27﹣10a；当 5≥a≥﹣5时，g（a）=f（﹣a）=2﹣a2； 当a≤﹣5时，g（a）=f（5）=27+10a．
点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
19. 如图所示，已知P,Q分别是正方体的面和面的中心，证明:
参考答案：
略
20. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，D是棱AA1的中点
（Ｉ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
参考答案：
(Ｉ)证明：由题知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C， 所以BC⊥平面AC C1A1，又DC1平面AC C1A1，所以DC1⊥BC.
由题知∠A1 DC1=∠A DC=45o,所以∠CDC1=90 o，即DC1⊥DC，
又DC∩BC=C，所以DC1⊥平面BDC，又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
（Ⅱ）解：设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得
V1 =
又三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V=1，所以（V-V1）:V1=1:1,
故平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1:1.
略
21. （12分）等差数列中，d=2,,,求n及。
参考答案：
22. 计算：
（Ⅰ）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，，是角终边上两点，，求；
（Ⅱ）已知，求.
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据三角函数的定义，结合已知进行求解即可；
（Ⅱ）根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】解：（Ⅰ）由三角函数定义可知，，，
化简得，所以.
（Ⅱ），
所以，
由，解得，所以.
【点睛】本题考查了三角函数定义，考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.
