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2021-2022学年吉林省长春市第一六0中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列各式中,集合关系表示正确的序号是 ▲ .
① ② ③
参考答案:
②
略
2. 在边长为1的等边三角形△ABC的BC边上任取一点D,使成立的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 若直线的倾斜角为30°,则实数m的值为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
直线的倾斜角为30°,
4. 命题“若,则”的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是:
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
5. 若点(m,n)在直线上,则m2+n2的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.12
参考答案:
A
【考点】基本不等式;直线的一般式方程.
【分析】m2+n2的最小值是原点到直线的距离的平方,利用点到直线的距离公式即可得出.
【解答】解:∵点(m,n)在直线上,
∴m2+n2的最小值是原点到直线的距离的平方==2.
故选:A.
【点评】本题考查了点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6. 已知向量,若与垂直,则
A B C D 4
参考答案:
C
7. 在中,,则A等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 函数与的图象如下左图,则函数的图象可能是
参考答案:
A
9. 函数f(x)=log3(2﹣x)的定义域是( )
A. [2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,2)
参考答案:
D
10. 天气预报报导在今后的三天中,每一天下雨的概率均为60%,这三天中恰有两天下雨的概率是 ( )
(A) 0.432 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.288
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列的前n项和为,若,,则___________
参考答案:
12
因为an+1=3Sn,所以an=3Sn-1(n≥2),两式相减得:an+1-an=3an,
即=4(n≥2),所以数列a2,a3,a4,…构成以a2=3S1=3a1=3为首项,公比为4的等比数列,所以a6=a2·44=3×44
12. 若函数只有一个零点,则实数k= .
参考答案:
13. 函数,则的值为_________.
参考答案:
14. 设x0是函数f(x)=2x+x的零点,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k= .
参考答案:
﹣1
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】判断函数f(x)的单调性,利用函数零点判断条件进行判断即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)=2x+x,
∴函数f(x)为增函数,
f(0)=1>0,f(﹣1)=<0,
满足f(0)f(﹣1)<0,
则在(﹣1,0)内函数f(x)存在一个零点,
即x0∈(﹣1,0),
∵x0∈(k,k+1),
∴k=﹣1,
故答案为:﹣1
【点评】本题主要考查函数零点和方程之间的关系,利用根的存在性定理进行判断是解决本题的关键.
15. 已知,,则cosα= .
参考答案:
【考点】GP:两角和与差的余弦函数.
【分析】先确定α+的范围,求得cos(α+)的值,进而利用余弦的两角和公式求得答案.
【解答】解:∵,,
∴∈(﹣,),
∴cos()==,
∴cosα=cos(α+﹣)=cos(α+)cos+sin(α+)sin==.
故答案为:.
16. 在△ABC中,已知,,,则B=_______.
参考答案:
45°
【分析】
利用正弦定理直接求解即可.
【详解】在中,由正弦定理可得,
又,,,所以,即或,
又因为,所以,
故答案为:.
【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,注意三角形中“大边对大角”的性质,属于基础题.
17. 函数的值域为____________
参考答案:
(-∞,1]
,得到,而对数函数满足,所以,故值域为
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 函数的定义域为且对一切,都有,
当时,有.
(1)求的值;
(2)判断的单调性并证明;
(3)若,解不等式.
参考答案:
解:(1)令
(2)令
因为 >0即 是增函数;
(3)由可得,原不等式等价于
解得 .
略
19. 已知等差数列{an}中,已知等差数列{an}中,a3=5,S10=100
(1)求an,
(2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和;8F:等差数列的性质.
【分析】(1)求出公差和首项即可求an,
(2)求出bn=的通项公式,利用裂项法即可求{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)由题意知,解得a1=1,d=2,则an=2n﹣1.
(2)bn===(),
则Tn=(1)=(1)=.
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列的前n项和,利用裂项法是解决本题的关键.
20. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈R的最大值是1,其图象经过点
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)
参考答案:
解:(1)依题意有A=1,则f(x)=sin(x+φ),将点代入得,而0<φ<π,
∴,∴,故.
∴原式=2
21. 在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,.
(1)若,,求△ABC的面积;
(2)若,求△ABC的面积的最大值.
参考答案:
解:(1)∵,,,
∴,
∴.
∴.
(2)∵.
又,∴.
∴
.
∴(当且仅当时取等号).
22. 已知命题有两个不相等的负根,命题无实根,若为真,为假,求的取值范围.
参考答案:
解析:有两个不相等的负根.
无实根.
由为真,即或得;
为假,
或为真,为真时,,为真时,或.
或为真时,或.
所求取值范围为
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