2021-2022学年北京国艺艺术学校高三数学文联考试卷含解析

2021-2022学年北京国艺艺术学校高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知,则等于 A  2m           B         C       D  参考答案： C 2. 设，则a， b，c的大小关系是(   ) A.b＞c＞a        B.a＞b＞c       C.c＞a＞b       D.a＞c＞b 参考答案： D 3. 函数的图像大致为(        ) 参考答案： A 4. 函数的部分图象如右图所示设，是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（   ） A．    B．    C．    D． 参考答案： B 略 5. 若P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线的方程为(     ) A．x+y﹣1=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．2x+y=0 D．x+y﹣3=0 参考答案： D 【考点】直线的一般式方程． 【专题】计算题． 【分析】利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线AB的方程． 【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心为（1，0），直线AB的斜率等于 =﹣1， 由点斜式得到直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0， 故选 D． 【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1． 6. 如果将函数f（x）=2sin3x的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线对称，则φ的最小值是(     ) A．   B． C． D． 参考答案： A 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±2，写出自变量的值，根据求最小值得到结果． 解：∵将函数f（x）=2sin3x的图象向左平移个单位长度， ∴平移后函数的解析式是y=2sin（3x+φ） ∵所得图象关于直线 x=称， ∴y=2sin（3×+φ）=±2， ∴3×+φ=kπ+（k∈Z）． ∴φ=k．（k∈Z），φ＞0，故当k=1时，φ=． 故选：A． 点评：本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果． 7. 若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2(x2－x)>1}，则A∩B=（  ） A．(2,4]         B．[2,4]    C．(－∞,0)∪(0,4]       D．(－∞, －1)∪[0,4] 参考答案： A A={x|1≤3x≤81}={x|0≤x≤4}， B={x|log2（x2-x）>1}={x|x2-x>2}={x|x>2或x<-1}， 则A∩B=(2,4]。   8. 若复数，则复数z所对应的点在（  ） A． 第一象限        B．第二象限       C． 第三象限      D．第四象限 参考答案： A 9. 某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（     ） A.2          B.         C.          D.3 参考答案： C 10. 已知函数的图象在点（1，）处的切线方程是的值是 A．         B．1        C．         D．2 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知复数,满足(a,b为实数),则     ▲   .  参考答案： 2 略 12. 已知，则          ． 参考答案： 由已知-sinα=-2cosα，即tanα=2，则sin2α+sin2α=.   13. 复数在复平面上对应的点的坐标是              ． 参考答案： 14. 在集合上定义两种运算+和*（如下图），则*+______． 参考答案： 15. 已知，以为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角为          ； 参考答案： 或  略 16. 将函数的图象向右平移个单位长度，若所得图象过点，则的最小值是 . 参考答案： 移动后，过点， 则，所以或， 所以或， 所以的最小值为。   17. 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？” 在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是　   　：　   　． 参考答案： 59，26． 【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和． 【分析】第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺，则X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比． 【解答】解：第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，还剩3尺； 第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺． 第三天按道理来说大鼠打4尺，小鼠尺， 可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通． 我们现在设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺 则打洞时间相等： X÷4=（0.5﹣x）÷ 解方程得X=， 所以大鼠在第三天打了8/17尺， 小鼠打了0.5﹣=尺 所以三天总的来说：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺， ∴大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26． 故答案为：59，26． 【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知=（2λsinx，sinx+cosx），=（cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）=?的最大值为2． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递减区间． （Ⅱ）利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（A）的最小值，可得m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数=λsin2x﹣λcos2x =2λ（sin2x﹣cos2x）=2λsin（2x﹣）， 因为f（x）的最大值为2，所以解得λ=1，则． 由， 可得：，， 所以函数f（x）的单调减区间为，k∈Z． （Ⅱ）由．可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2， 即b2+a2﹣c2=ab，解得，即． 因为，∴，． 因为恒成立，则恒成立，即m≤﹣1． 19. （本小题满分14分）      设函数．      (Ⅰ)当a=2时，求的极值；     (II)令,若其图象上存在一点,使得以P为切点的切线斜率成立，求实数a的取值范围；   (III)当a=0时，方程有唯一实数解,求正数的值． 参考答案： 20. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率； （2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 参考答案： 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，，则. （1）这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率 （2）设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件，，故，. 所以，这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. （3）的所有可能取值为0,2,4. ， 所以，的分布列是 0 2 4 .   略 21. （本小题满分12分）     如图，在四棱锥ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1． （Ⅰ）求PD与BC所成角的大小； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小． 参考答案： （Ⅰ）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD=CD …………………1分         所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH         所以∠PDH为PD与BC所成角………………………………………………2分         因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o，  所以⊥DA⊥AB         又因为AB=2DC=2，所以AD=1，  因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60o  ……………4分    （Ⅰ）连接CH，则四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC   又AB=2，∴BH=1          在Rt△BHC中，∠ABC=45o ， ∴CH=BH=1，CB=  ∴AD=CH=1，AC=       ∴AC2+BC2=AB2    ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分 ∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC  ………………………………………8分    （Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，则由题设可知： A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，          ∴=(0，0，1)，=(1，1，-1) ………………………………………… 9分          设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量，  则，即          设，则，∴m=(1，-1，0)  ………………………………………10分          同理设n=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量，求得n=(1，1，1) ………11分          ∴          所以二面角A-PC-D为60o  ………………………………………………… 12分 22. 已知函数，曲线在处的切线为l：．    （1）若时，函数有极值，求函数的解析式；    （2）若函数，求的单调递增区间（其中）． 参考答案： 解：（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′（x）＝3x2＋2ax＋b．  当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0．  ① 当x＝时，y＝f（x）有极值，则f′＝0， 可得4a＋3b＋4＝0．  ② 由①、②解得a＝2，b＝－4． 由于l上的切点的横坐标为x＝1， ∴f（1）＝4．  ∴1＋a＋b＋c＝4．  ∴c＝5．  则f（x）＝x3＋2x2－4x＋5．                          ……