2021-2022学年江西省赣州市宁都中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年江西省赣州市宁都中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为 A.      B.  C.      D. 参考答案： C 2. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为（    ） A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2 参考答案：   即 ，故选择答案A 3. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1,2,…,n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ）     A．－1             B．0                C．               D．1 参考答案： D 4. 若复数为纯虚数，则实数的值为 A．3             B．1             C．-3             D．1或-3 参考答案： 5. 已知的值为 A.      B.       C.        D.2 参考答案： C ，选C. 6. 已知函数，则下列判断正确的是（    ） A. f(x)的图象关于对称 B. f(x)为奇函数 C. f(x)的值域为[－3,1] D. f(x)在上是增函数 参考答案： A 【分析】 利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可. 【详解】 . 因为是该函数的最大值，故是函数的对称轴，故正确； 因为，故该函数不是奇函数，故错误； 因为，故的值域为，故错误； 由，可得，在此区间内，正弦函数不单调，故错误； 综上所述，正确的是. 故选：A. 【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基础题. 7. 等差数列{an}中，a2=2008，a2008=a2004－16，则其前n项和Sn取最大值时n等于（    ）     A．503            B．504            C．503或504      D．504或505 参考答案： 答案：C 8. 已知集合，集合，则（    ） A．                  B．                   C．                 D． 参考答案： A 9. 若的展开式中常数项为20，则实数a的值是（    ）        A．1                                                               B．-1        C．6                                                               D．-6 参考答案： A 10. 已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 参考答案： C 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】先根据三角函数的性质可推断出函数的最小正周期为6，进而推断出≤t进而求得t的范围，进而求得t的最小值． 【解答】解：函数y=sin的周期T=6， 则≤t， ∴t≥， ∴tmin=8． 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为　    　． 参考答案： 58 【考点】频率分布直方图． 【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数． 【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1， ∴a+b=0.29， ∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58， ∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58． 故答案为：58 12. 已知函数，则，则a的取值范围是             。 参考答案： 13. 已知函数,则___________. 参考答案： －2 略 14. 如图,为了测得河的宽度CD，在一岸边选定两点A、B，使A、B、D在同一直线上.现测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m，则河的宽度是    . 参考答案： 60 m      15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则=     ． 参考答案： 根据余弦定理可得，所以。 16. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____． 参考答案： 54 17. 已知定义在上的函数 ，该函数的值域是          ； 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （13分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）． （1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c； （2）求椭圆的离心率e的取值范围； （3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值． 参考答案： 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 分析： （1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离 （2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围． （3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案． 解答： 解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0）， Q点到右准线的距离为d=﹣x0， 则由椭圆的第二定义知：=， ∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a， ∴当x0=a时， ∴|QF2|min=a﹣c． （2）依题意设切线长|PT|= ∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值， ∴≥（a﹣c）， ∴0＜≤，从而解得≤e＜， 故离心率e的取值范围是解得≤e＜， （3）依题意Q点的坐标为（1，0）， 则直线的方程为y=k（x﹣1）， 与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得， 设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=， 代入直线方程得y1y2=， x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB， ∴=0， ∴k=a， 直线的方程为ax﹣y﹣a=0， 圆心F2（c，0）到直线l的距离d=， ∴≤e＜?，∴≤c＜1，≤2c+1＜3， ∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为． 点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 19. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD．AB=AA1= （1）证明：A1C⊥平面BB1D1D； （2）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（1）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证； （2）由已知A1O是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积． 【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC?面ABCD， ∴A1O⊥BD，A1O⊥AC； 又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O， ∴BD⊥面A1AC，且A1C?面A1AC，故A1C⊥BD． 在正方形ABCD中， ∵AB=， ∴AO=1， 在Rt△A1OA中，∵AA1=， ∴A1O=1． 设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形， ∴A1C⊥E1O． 又BD?面BB1D1D，且E10?面BB1D1D，且BD∩E1O=O， ∴A1C⊥面BB1D1D； 解：（2）∵四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形， O为底面中心，A1O=1，A1B=AB=AA1=， ∴A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，A1O=1， ∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD?A1O=×（）2×1=1． 【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20. 在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。                             参考答案： （Ⅰ）由⊙Q过M、F、O三点可知，Q一定在线段FO的中垂线上，所以   （Ⅱ）设存在点M(),    切线MQ：，令     所以Q()，由可得   解方程得，存在M   21. 如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，，． （1）若，求的值； （2）设函数，求的值域． 参考答案： 解：（Ⅰ）由已知可得 （Ⅱ）    的值域是 略 22. （2015秋?松原期末）已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a． （1）求a的值； （2）解不等式f（x）＞4． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】分类讨论；转化法；不等式的解法及应用． 【分析】（1）根据|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，求出f（x）的最小值； （2）讨论x的取值范围，求出f（x）的解析式，再求不等式f（x）＞4的解集． 【解答】解：（1）因为|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3， 当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立， 所以f（x）的最小值等于3，即a=3； （2）由（1）知，当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）＞4不成立； 当x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1， 不等式f（x）＞4化为﹣2x+1＞4，解得x＜