2021-2022学年河北省秦皇岛市土门子职业技术中学高二数学理测试题含解析

2021-2022学年河北省秦皇岛市土门子职业技术中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　） A．， B． C． D． 参考答案： D 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k＜﹣1联立求得k的范围． 【解答】解：渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0 设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2， ∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点， ∴，∴k＜0， ∴ 故选D 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合． 2. 函数在区间(     )内有零点.   A.         B.(0,1)               C.              D.(1,2)   参考答案： C 略 3. 高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（　　） A．30 B．31 C．32 D．33 参考答案： C 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样原理求出抽样间隔，由第一组抽出的学号得出每组抽出的学号是什么． 【解答】解：根据系统抽样原理得，抽样间隔是=14， 且第一组抽出的学号为4， 那么每组抽出的学号为4+14（n﹣1），其中n=1、2、3、4； 所以第二组抽取的学号为4+14×2=32． 故选C． 4. 直线和直线的位置关系是(　　) A．相交但不垂直  B．垂直  C．平行  D．重合 参考答案： B 略 5. 数列的通项公式是，若前n项的和为10，则项数n为（ ） A．11        B．99   C．120   D．121 参考答案： B 略 6. 已知是直线，是平面，且，则是的（   ） A、充分不必要条件     B、必要不充分条件          C、充分必要条件       D、既不充分也不必要条件 参考答案： B 7. 求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（　　） A． B．π C．π D．24π 参考答案： B 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】利用定积分求体积． 【解答】解：解方程组得x=4，y=4． ∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π?（2x2﹣）|=． 故选B． 8. 函数在点处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．． 【详解】∵， ∴切线斜率， 又∵，∴切点为， ∴切线方程为， 即． 故选B． 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 9. 数列的前n项和为，若，则等于     A.1                 B.                 C.           D. 参考答案： B 10. 点满足平面区域：，点满足：，则的最小值是(     ) A．      B．      C．      D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将全体正奇数排成一个三角形数阵：          1          3   5          7   9   11          13  15  17  19          ……     按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为                    ． A、          B、      C、     D、 参考答案： D 12. 若双曲线的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为          ． 参考答案： 2 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，,则__________. 参考答案： 12 【分析】 由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数是定义在上的奇函数，，则， . 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 14. 若关于的不等式的解集为，则的范围是____ 参考答案： 解析： ，即      ， 15. 若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________． 参考答案： [3，＋∞) 略 16. 求满足的的取值集合是______________. 参考答案： 17. 设椭圆的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B 两点，若是等边三角形，则椭圆C的离心率等于________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1． （1）求C1的方程； （2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（1）运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a=，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程； （2）设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）由题意可得e==， 由椭圆的性质可得，a﹣c=﹣1， 解方程可得a=，c=1， 则b==1， 即有椭圆的方程为+y2=1； （2）直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m， 由，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， 由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0， 即为m2=1+2k2，① 由，可得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0， 由直线和抛物线相切，可得△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0， 即为km=1，② 由①②可得或， 即有直线l的方程为y=x+或y=﹣x﹣． 19. 在等差数列{an}中，a2=﹣1，2a1+a3=﹣1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，若Sk=﹣99，求k． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，依题意，得到关于首项与公差的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式； （Ⅱ）利用等差数列的求和公式，易得Sn=﹣n2+2n，由Sk=﹣k2+2k=﹣99即可求得k的值． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，依题意，得，…4 解得a1=1，d=﹣2…6 所以数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+3…8 （Ⅱ）Sn===﹣n2+2n…10 令Sk=﹣k2+2k=﹣99，即k2﹣2k﹣99=0…12 解得k=11，或k=﹣9（舍去）…13 20. （12分）设数列的前项和为 （1）求，      （2）设 ，证明：数列是等比数列 （3）求数列的前项和为 参考答案： 21. （1）已知，，在轴上找一点，使，并求的值； （2）已知点与间的距离为，求的值． 参考答案： 解析：（1）设点为，则有 ， ． 由得，解得． 即所求点为且． （2）由，又， 得，解得或，故所求值为或． 22. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点和短轴顶点构成面积为2的正方形． （I）求椭圆的标准方程； （II）设A1，A2分别为椭圆C的左右顶点，F为右焦点，过A1的直线与椭圆相交于另一点P，与直线x=相交于点B，以A2B为直径作圆．判断直线PF和该圆的位置关系，并给出证明． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（I）由题意可得b=c，a=，由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程； （II）直线PF和圆的位置关系为相切．求出A1（﹣，0），A2，F（1，0），显然直线A1P的斜率存在，设直线A1P的方程为y=k（x+），（k＞0），代入椭圆方程，求得P的坐标，以及直线PF的斜率和方程，求得B的坐标，以及圆的圆心M的坐标和半径，求得M到直线PF的距离，化简整理与半径比较，即可得到所求结论． 【解答】解：（I）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点和短轴顶点构成面积为2的正方形 由题意可得：b=c，则=2，解得b=c=1． ∴a2=b2+c2=2． ∴椭圆的标准方程是=1； （II）直线PF和圆的位置关系为相切． 理由：A1（﹣，0），A2，F（1，0）， 显然直线A1P的斜率存在，设直线A1P的方程为y=k（x+），（k＞0）， 代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+4k2﹣2=0， 由﹣+xP=﹣， 解得xP=，yP=k（xP+）=， 即P（，）， 直线FP的斜率为， 则直线FP的方程为y=（x﹣1）， 可令x=，解得y=2k，即有B（，2k）， 以A2B为直径作圆，圆心为M（， k）， 半径为r=k， 由圆心到直线PF的距离为d= =k?=k=r． 可得直线PF与A2B为直径的圆相切．