2021-2022学年广西壮族自治区柳州市香粉乡中学高二数学理期末试题含解析

2021-2022学年广西壮族自治区柳州市香粉乡中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（   ） A．至多有一次中靶      B．两次都中靶     C．只有一次中靶        D．两次都不中靶 参考答案： D 略 2. 在长方体中，如果,，那么到直线的距离为（     ） A.     B.     C.      D. 参考答案： C 3. 偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（    ） A．         B．         C．         D． 参考答案： C 由题意构造函数 所以函数F(x)在区间上，F(x)在区间上单调递减。，当时，可变形为，即，即。   4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】正弦定理． 【分析】由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，结合三角形内角和定理可求B=，由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，进而利用余弦定理得（a﹣c）2=0，可求A=C=B=，利用特殊角的三角函数值即可计算得解． 【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，（1） ∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π，（2）． 由（1）（2）得B=． 由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac， 由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB， 把B=、b2=ac代入得，a2+c2﹣ac=ac， 即（a﹣c）2=0，则a=c，从而A=C=B=， ∴sinAcosBsinC==． 故选：C． 【点评】本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 5. 设。“”是“复数是纯虚数”的（   ） A．充分而不必要条件           B．必要而不充分条件 C．充分必要条件               D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 6. 若集合，，则满足条件的实数的个数有 A．个           B．个          C．个         D．个 参考答案： C 略 7. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（   ） A．                B．            C．          D． 参考答案： B 试题分析：由题意得，输出的S为数列 的前三项和，而 ，∴ ，故选B. 8. 若实数a，b满足，则的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用；直线与圆． 【分析】由题意作平面区域，化简=+，从而可知是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数，从而解得． 【解答】解：由题意作平面区域如下， ， =+， 是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数， 故当过点A（，）时，kOA==3， 故此时有最小值， 此时有最大值=+=+=， 故选：C． 【点评】本题考查了线性规划的应用及直线的斜率的应用，同时考查了化简运算． 9. 若，，，则3个数,,的值(    ) A．至多有一个不大于1         B．至少有一个不大于1       C.都大于1         D．都小于1 参考答案： B 10. 已知等差数列满足，则有           （    ） A．   B． C． D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知tanα=2，则tan（α﹣）的值为　　． 参考答案： 直接利用两角差的正确化简求值． 解：由tanα=2， 得tan（α﹣）=． 故答案为：． 12. 直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为　　． 参考答案： 3x+y﹣2=0 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆． 【分析】由题意求出直线l的斜率，再求出直线3x﹣y+2=0所过的定点，由直线方程的斜截式得答案． 【解答】解：由题意可知，直线l的斜率与直线3x﹣y+2=0斜率互为相反数， ∵3x﹣y+2=0的斜率为3，∴直线l的斜率为﹣3， 又直线3x﹣y+2=0过点（0，2）， ∴直线l的方程为y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0． 故答案为：3x+y﹣2=0． 【点评】本题考查与直线关于直线对称的直线方程，考查了直线方程的斜截式，是基础题． 13. 如果复数 （为虚数单位）为纯虚数，则实数a=     . 参考答案： 2 ∵复数 （为虚数单位）为纯虚数， ∴，∴ =2 故答案为：2   14. 已知数列{an}为正项等差数列，其前9项和，则的最小值为   参考答案：    15. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程将超过2200km，用不等式表示为　　　　　.  参考答案： 8(x+19)>2200 16. 在直角坐标系中，直线的斜率是    ▲         参考答案： 17. 一枚伍分硬币连掷3次，只有1次出现正面的概率为_________ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证： （1）C1O∥面AB1D1； （2）A1C⊥面AB1D1． 参考答案： 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】证明题． 【分析】（1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1，满足定理所需条件； （2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，满足定理所需条件． 【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1， ∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体， ∴A1ACC1是平行四边形， ∴A1C1∥AC且A1C1=AC， 又O1，O分别是A1C1，AC的中点， ∴O1C1∥AO且O1C1=AO， ∴AOC1O1是平行四边形， ∴C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1， ∴C1O∥面AB1D1； （2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!， 又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1， ∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B， AB1⊥平面A1BC，又A1C?平面A1BC， ∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1， ∴A1C⊥面AB1D1 【点评】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力． 19. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点分别是（-1，-2），（0，1），（3，2）。①求直线的方程；②求平行四边形的面积； 参考答案： ①因为B(0,1),C(3,2),由直线的两点式方程得 直线的方程是 ②由点到直线的距离是，， 所以，即得，所以平行四边形的面积是 20. 某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如图（单位：cm） （1）求a的值 （2）根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值． （3）在身高为140﹣160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150﹣160之间的概率． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 【分析】（1）根据0.01+0.02+a+0.04=0.1，求出a的值即可； （2）根据中位数的左边和右边的直方图的面积相等可求中位数；计算每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和可得平均数． （3）根据频数=频率×样本容量，可以求出身高介于140～150的学生人数和身高介于150～160的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在140﹣160的学生中随机抽取2名学生的事件个数及至少有一个人身高在150﹣160之间的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案． 【解答】解：（1）a=0.1﹣0.01﹣0.02﹣0.04=0.03； （2）中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5 所以中位数的估计值为162.5． 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 则平均数的估计值为145×0.1+155×0.3+165×0.4+175×0.2=162， （3）这20名学生中，身高在140﹣150之间的有2个，分别为A，B，身高在150﹣160之间的有6人， 从这8人中任选2个，有=28种选法， 两个身高都在140﹣﹣﹣150之间的选法有1种选法， 所以至少有一个人在150﹣160之间的选法有28﹣1=27， 故至少有一人的身高在150﹣160之间的概率为． 21. 已知函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，求满足f（x2+2x+3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）的x的集合． 参考答案： 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】利用偶函数的性质及f（x）在（﹣∞，0）上单调性，把f（x2+2x+3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）转化为关于x2+2x+3、﹣x2﹣4x﹣5的不等式，解出即可． 【解答】解：因为f（x）为R上的偶函数，所以f（x2+2x+3）=f（﹣x2﹣2x﹣3）， 则f（x2+2x+3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）即为f（﹣x2﹣2x﹣3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）． 又﹣x2﹣2x﹣3＜0，﹣x2﹣4x﹣5＜0，且f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减， 所以﹣x2﹣2x﹣3＜﹣x2﹣4x﹣5，即2x+2＜0，解得x＜﹣1． 所以满足f（x2+2x+3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）的x的集合为{x|x＜﹣1}． 【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性，解决本题的关键是综合应用奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“f”． 22. 已知展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）7展开式的二项式系数的和大128，求展开式中的系数最大的项和系数最小的项． 参考答案： 【考点】DA：二项式定理． 【分析】先由条件求出n=8，再求出二项式展开式的通项公式，再由二项式系数的性质求得当r为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求得展开式中的系数最大的项和系数最小的项． 【解答】解：由题意可得 2n﹣27=128，解得n=8． 故 = 展开式的通项公式为 Tr+1=?x16﹣2r?（﹣1）r?x﹣r=（﹣1）r??x16﹣3r． 由二项式系数的性质可得，当r=4时，展开式中的系数最大，为T5=?x4=70x4； 当r=3或5时，展开式中的系数最小，为 T4=﹣?x7=﹣56x7，或 T6=﹣?x=﹣56x．