2021-2022学年广西壮族自治区柳州市第四十五中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年广西壮族自治区柳州市第四十五中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，G是△ABC的重心，AB、AC的边长分别为2、1，BAC=60o．则= A．   B．  C．  D．- 参考答案： A 由,所以，将直角三角形放入直角坐标系中，,则,所以重心,所以,所以，选A. 2. 对任意实数，定义运算，设，则的值为 (A)a        (B)b       (C)c        (D)不能确定 参考答案： A 略 3. 要得到一个奇函数，只需将的图象 A、向右平移个单位          B、向右平移个单位         C、向左平移个单位          D、向左平移个单位 参考答案： C 略 4. 等比数列中an>0,且,则= （      ） 参考答案： 6 5. 已知m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中是真命题的是（　　） A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥α，m⊥n，则n∥α D．若m⊥α，n⊥m，则n∥α 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案． 【解答】解：对于A，若m∥α，m∥n，则n∥α或n?α，假命题； 对于B，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质，可得m∥n，真命题； 对于C，若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，假命题； 对于D，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n?α，假命题， 故选：B． 　 6. 设集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则?R（A∩B）等于(     ) A．R B．（﹣∞，﹣2）∪（0．+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．φ 参考答案： B 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】根据题意，解|x|≤2可得集合A，由x的范围结合二次函数的性质，可得y的取值范围，即可得集合B；由交集的定义，可得A∩B，进而由补集的定义，计算可得答案． 【解答】解：|x|≤2?﹣2≤x≤2，则集合A={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]， 对于B，若﹣1≤x≤2，则﹣4≤﹣x2≤0， 则有B={y|﹣4≤y≤0}=[﹣4，0]， 则A∩B=[﹣2，0]， ?R（A∩B）=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； 故选B． 【点评】本题考查集合的混合运算，关键是求出集合A与B． 7. 2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为 A． B． C． D． 参考答案： B 8. 已知正项数列为等比数列且的等差中项，若，则该数列的前5项的和为                                                     （    ）        A．                        B．31                          C．                 D．以上都不正确   参考答案： B 略 9. （9）已知函数，，则 （A）        （B）       （C）      （D） 参考答案： C． 10. 设函数f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=sin（2x+）的图象，可将f（x）的图象（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件根据诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：∵f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，g（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]=sin[2（x++）]， ∴将函数g（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得有y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）的图象． 故选：A． 【点评】本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设f(x)是定义在R上的函数，且对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y)+2014成立，若函数g(x)=f(x)+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=_________ 参考答案： -4028 略 12. 已知函数，当时，函数的最大值为_______ . 参考答案： 【分析】 对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。 【详解】因为，所以函数是上的增函数，故 当时，函数的最大值为。 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题。 13. （原创） △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的最大值为        参考答案： ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为 ∴角B的最大值为 【考点】解三角形，已知三角函数值求角，基本不等式，. 14. 若函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，则正实数的值为_____________． 参考答案： 15. 在极坐标系中，点M(4，)到曲线上的点最短距离为____， 参考答案： 2  略 16. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为          ． 参考答案： 由于，，成等比数列，所以,即,解得所以. 17. 已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为            ． 参考答案： 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，再由题意可得f（） ＜g（），由此求得实数m的取值范围． 【解答】解：由于函数f（x）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称， 故这两个函数在（0，+∞）上有2个交点． 当x＞0时，令 h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2+m﹣lnx，则 h′（x）=4x﹣． 令h′（x）=0可得x=，故这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=． 当x=时，f（x）=+m，g（x）=ln=﹣ln2， 函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有+m＜﹣ln2， 由此可得 m＜﹣﹣ln2，故实数m的取值范围为 ， 故答案为 ． 【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求出这两个函数的图象在（0，+∞）上 相切时切点的横坐标为x=，是解题的关键，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点． （I）求证：平面ACD⊥平面BCD； （II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD． （Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值． 【解答】证明：（I）∵∠ABC=， ∴BA⊥BC， 建立如图所示的坐标系， 则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2）， 则=（﹣1，0，1），=（0，，0）， =（1，0，1）， 则?=（﹣1，0，1）?（0，，0）=0， ?=（﹣1，0，1）?（1，0，1）=﹣1+1=0， 则⊥，⊥， 即AD⊥BC，AD⊥BD， ∵BC∩BD=B， ∴AD⊥平面BCD； ∵AD?平面BCD； ∴平面ACD⊥平面BCD； （II）=（0，，1）， 则设平面BDE的法向量=（x，y，1）， 则，即， 解得x=﹣1，y=， 即=（﹣1，，1）， 又平面SBD的法向量=（0，，0）， ∴cos＜，＞==， 则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为． 【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法． 19. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N， （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程； （Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为， ∴ ∴b= ∴椭圆C的方程为； （Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=， ∴|MN|== ∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ∴△AMN的面积S= ∵△AMN的面积为， ∴ ∴k=±1． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|． 20. (本小题满分12分)        某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时（万元），每件商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。        （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；        （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 参考答案： ：   略 21. 如图是三棱柱的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，为的中点. (1)求证：∥平面；(2)设垂直于，且，求三棱柱的表面积和体积. 参考答案： (1)由三视图画出直观图，如图， 这是一个正三棱柱，连接和，交点为,则为的中点，连接, 因为为中点，所以,……………………6分 (2)过作,垂足为,连接， 因为侧面垂直于底面，所以，所以在内的射影为，由， 故，表面积为；体积为。…………12分   略 22. （本题12分） 已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ. 参考答案：