2021-2022学年广西壮族自治区桂林市杜莫中学高二数学理联考试题含解析

2021-2022学年广西壮族自治区桂林市杜莫中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知为椭圆的两个焦点，，如图的顶点A、B在椭圆上，在边AB上，其周长为20，则椭圆的离心率为（    ） A．  B．  C．  D． 参考答案： B 略 2. 若a>b，则下列各式中正确的是                                                                              （    ）        A． B．                C．                  D． 参考答案： B 3. 羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】等可能事件的概率． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从5只羊中选2只，共有C52种结果，满足条件的事件是喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中，共有C21C31种结果，得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生所包含的事件是从5只羊中选2只，共有C52=10种结果， 满足条件的事件是喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中，共有C21C31=6种结果， ∴喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率是 故选C． 4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=4，cosA=，则b=（　　） A．2 B．2 C．4 D．6 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解． 【解答】解：∵a=2，c=4，cosA=， ∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：20=b2+16﹣2×， ∴整理可得：3b2﹣16b﹣12=0，解得：b=6或﹣（舍去）． 故选：D． 5. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（　　） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1} 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论． 【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣， ∵f（x）的导函数f′（x）＜， ∴g′（x）=f′（x）﹣＜0， 则函数g（x）单调递减， ∵f（1）=1， ∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0， 则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0， 即g（x）＜g（1）， 则x＞1， 即f（x）＜+的解集{x|x＞1}， 故选：D 6. 双曲线的渐近线方程是（    ） A．         B．       C．    D． 参考答案： A 7. 不等式的解集是   （     ）  A．        B     C．        D． 参考答案： D 8. 若平面α、β的法向量分别为，则 (    ) A、α⊥β                        B、α∥β C、α、β相交但不垂直            D、以上均不正确 参考答案： A 略 9. 过点的直线与圆交于两点，若，则直线的方程为（     ）  A． B． C． D． 参考答案： A 略 10. 双曲线的渐近线方程为（    ） A.      B.        C.          D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出的图形的序号是_______．            参考答案： ① ③ 12. 参考答案： 13. 设全集，集合，则=__________． 参考答案： 由题意得 14. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为___________． 参考答案： 略 15. 若，则=                . 参考答案： 16. 已知，则的最小值是_______。 参考答案： 4 17. 计算     ． 参考答案： 无 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在等比数列中，公比，设，且 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和及数列的通项公式； （3）试比较与的大小. 参考答案： 解析：（1）由已知为常数.故数列为等差数列， 且公差为  （先求也可）                                 4分 （2）因，又，所以 由 由.                      8分 （3）因当时，，所以时，；  又可验证是时，；时，.                    12分 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点． （1）证明：DE∥平面PBC； （2）证明：DE⊥平面PAB．   参考答案： （1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝． 故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF． 又ED平面PBC，CF平面PBC， 故DE∥平面PBC． （2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD． 又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD． ED平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA； PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB． 略 20. 2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7‰，那么多少年 后我国人口将达到15亿？设计一个算法的程序. 参考答案： A=13 R=0.007 i=1 DO     A=A*（1+R）     i=i+1  LOOP  UNTIL  A＞=15     i=i－1 PRINT  “达到或超过15亿人口需要的年数为：”；i END 21. （本题满分14分） 已知复数z=（m2+5m﹣6）+（m2﹣2m﹣15）i，（i为虚数单位，m∈R） （1）若复数Z在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M的值； （2）当实数m=﹣1时，求的值. 参考答案： （1）因为复数所对应的点在一、三象限的角平分线上， 所以，   …………………………………………………4分 解得. ……………………………………………………………………………6分 （2）当实数时，.………………………10分 ， 所以的值为.     …………………………………………………………14分   22. 为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题： （1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号； （2）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内) ，并作出频率分布直方图； （3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 参考答案： 解:（1）编号为016；                    （2） 分组 频数 频率 60.5~70.5 8 0.16 70.5~80.5 10 0.20 80.5~90.5 18 0.36 90.5~100.5 14 0.28 合计 50 1             （3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，占样本的比例是，即获二等奖的概率约为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人。 答：获二等奖的大约有256人       略