2021年湖南省长沙市成功塘中学高二数学理期末试卷含解析

2021年湖南省长沙市成功塘中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线与抛物线所围成的图形面积是           A．20         B．          C．         D． 参考答案： C 2. 已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时f（x）的解析式是f（x）=（　　） A．﹣x（x﹣1） B．﹣x（x+1） C．x（x﹣1） D．x（x+1） 参考答案： D 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】利用奇函数的性质即可得出． 【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0， ∵当x＞0时f（x）=x（1﹣x）， ∴f（﹣x）=﹣x（1+x）， ∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x）， 故选：D． 3. 设集合，，则（    ） A.            B.            C.         D. 参考答案： D 4. 已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是(    ) A、              B、              C、            D、 参考答案： A 5. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A. 2             B.                C.              D. 1 参考答案： B 略 6. 如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有                                                                    (     ) A.12对     B.24对     C.36对    D.48对 参考答案： B 7. 已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在(　　) A.圆x2+y2=2上   B.圆x2+y2=2内     C.圆x2+y2=2外   D.以上三种情况都有可能 参考答案： B 8. 在△ABC中，，，，则的面积为（    ） A． B．4 C． D． 参考答案： C 因为中，，，， 由正弦定理得：，所以，所以， 所以，，所以，故选C． 9. 今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（　　） A．212﹣57 B．211﹣47 C．210﹣38 D．29﹣30 参考答案： B 【考点】归纳推理． 【分析】先设每个30分钟进去的人数构成数列{an}，确定求数列{an}的通项公式，由于从早晨6时30分到上午11时，共有10个30分钟，故需求数列{an}的前10项和，再由等比数列前n项和公式即可得上午11时园内的人数． 【解答】解：设每个30分钟进去的人数构成数列{an}，则 a1=2=2﹣0，a2=4﹣1，a3=8﹣2，a4=16﹣3，a5=32﹣4，…，an=2n﹣（n﹣1） 设数列{an}的前n项和为Sn，依题意， 只需求S10=（2﹣0）+（22﹣1）+（23﹣2）+…+=（2+22+23+…+210）﹣（1+2+…+9）=211﹣47 故选B． 10. 已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（　　） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 参考答案： D 【考点】轨迹方程． 【分析】根据题意，利用|MF1|+|MF2|=16与|F1F2|=16的长度关系，确定点M在线段F1F2上，即可得答案． 【解答】解：根据题意，点M与F1，F2可以构成一个三角形，则必有|MF1|+|MF2|＞|F1F2|， 而本题中动点M满足|MF1|+|MF2|=|F1F2|=16， 点M在线段F1F2上，即动点M的轨迹线段F1F2， 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 由1，2，3，4可以组成　    　个没有重复数字的正整数． 参考答案： 64 【考点】计数原理的应用． 【分析】根据数位的个数分为4类，根据分类计数原理得到结果． 【解答】解：根据数位的个数分为4类，故A41+A42+A43+A44=64． 故答案为：64． 12. 设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________． 参考答案： 13. 光线沿直线y=2x+1的方向射到直线x－y=0上被反射后，反射光线所在的直线方程是               . 参考答案： x-2 y-1=0 14. 在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为__________. 参考答案： 【分析】 根据题意，令，可以求出圆的圆心坐标，又因为圆经过点，则圆的半径为C，P两点间的距离，利用极坐标公式即可求出圆的半径，则可写出圆的极坐标方程. 【详解】在中，令，得，所以圆的圆心坐标为．因为圆C经过点，所以圆的半径，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为． 【点睛】本题考查用极坐标公式求两点间的距离以及求点的坐标，考查圆的极坐标方程，考查了学生的计算能力，属于基础题. 15. 三个数72，120，168的最大公约数是_______。 参考答案： 24 16. 已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是    　． 参考答案： 17. 已知数列{an}的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}．则数列{cn}的前28项的和           ． 参考答案： 820 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T． （Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程； （Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=x﹣，与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，根据|PQ|=4，求抛物线C的标准方程； （Ⅱ）求出点N、点T的坐标，证明?=﹣p2m2+p2m2=0，即可证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F． 【解答】（Ⅰ）解：由直线l的斜率为1，可设直线l的方程为y=x﹣， 与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，x1+x2=3p， ∴|PQ|=x1+x2+p=4p=4，p=1， ∴抛物线C的方程为y2=2x．… （Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+， 与抛物线C的方程联立，化简得y2﹣2pmy﹣p2=0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，y1+y2=2pm， ∴x1+x2=m（y1+y2）+p=2pm2+p， ∴点N的坐标为（pm2+，pm）， ∴点T的坐标为（﹣，pm）， ∴=（﹣p，pm），=（pm2，pm）， ∴?=﹣p2m2+p2m2=0， ∴无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．…（12分） 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，同时考查向量与解析几何的交汇，综合性强． 19. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，CB⊥C1B，BC=1，CC1=2，A1B1=， （1）试在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1； （2）在（Ⅰ）的条件下，求AE和BC1所成角． 参考答案： 【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征． 【分析】（1）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，从而B1E⊥平面ABE且BE?平面ABE，故BE⊥B1E．利用余弦定理及其勾股定理即可得出． （2）取BC中点D，则DE∥BC1，连接AD，所以∠AED或其补角为异面直线AE和BC1所成角所成的角． 利用余弦定理即可得出． 【解答】解：（1）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE， 从而B1E⊥平面ABE且BE?平面ABE，故BE⊥B1E． 不妨设  CE=x，则C1E=2﹣x， ∵∠BCC1=60°，∴BE2=1+x2﹣x， ∵∠BCC1=60°，∴∠B1C1C=120°，∴． 在Rt△BEB1中有1+x2﹣x+x2﹣5x+7=4， 从而x=1或x=2（当x=2时E与C1重合不满足题意）． 故E为CC1的中点时，EA⊥EB1． （2）取BC中点D，则DE∥BC1，连接AD， 所以∠AED或其补角为异面直线AE和BC1所成角所成的角． ∵， ∴cos∠AED==， ∴∠AED=60°． 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、余弦定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20. 已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】求出命题p，q的等价形式，利用?p是?q的必要不充分条件，求出m的取值范围． 【解答】解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10， 由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0， 即1﹣m≤x≤1+m，m＞0， 若￢p是￢q的必要不充分条件， 即q是p的必要不充分条件， 即，即，解得m≥9． 21. 为了了解某年级1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8. （1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数； （2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩； （3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率. 参考答案： 解：（1）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32. 0.321000=320 ∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。   ……2分 （2）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x ，19x 依题意，得 3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02     ……4分　 设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则    ∴n=50 ∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩.     ……6分 （3）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c 百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4，记他们的成绩为m，n，p，q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有 {a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b