2021年河北省廊坊市三河第三中学高三数学文月考试题含解析

2021年河北省廊坊市三河第三中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，若且，则的取值范围(   ) A.   B.   C.     D. 参考答案： C 略 2. 设，则 A.    B.    C.    D. 参考答案： D 3. 若复数（为虚数单位），是的模，则的虚部是（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： D 4. 设（    ） 条件。 A、充分不必要    B、必要不充分   C、充要  D、既不充分也不必要 参考答案： A 略 5. 已知向量               A．—3              B．—2               C．l               D．－l 参考答案： A 因为垂直，所以有，即，所以，解得，选A. 6. 已知函数，则的解集为（   ） A．               B． C．                                   D． 参考答案： B 7. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”． 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（　　）盏灯． A．2 B．3 C．5 D．6 参考答案： B 【考点】89：等比数列的前n项和． 【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得． 【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数 构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列， ∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3， ∴顶层有3盏灯， 故选：B． 8. 已知函数f（x）=若f（a）=，则a等于     A．-1或             B．                    C．-1                       D．1或- 参考答案： A 略 9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角A的值为（ ） A．         B．       C.          D． 参考答案： C 在，因为 由正弦定理可化简得，所以， 由余弦定理得，从而，故选C.   10. 若，，且，则向量与 的夹角为(       )   A  30°         B  60°       C  120°      D  150° 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知水池的长为30m，宽为20m，一海豚在水池中自由游戏，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】测度为面积，找出点离岸边不超过4m的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解． 【解答】解：如图所示：长方形面积为20×30，小长方形面积为22×12 阴影部分的面积为20×30﹣22×12， ∴海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P=1﹣=． 故答案为． 12. 设x，y满足约束条件，则的最大值为_______． 参考答案： 3 【分析】 画出可行解域，平移直线，找到的最大值. 【详解】画出如下图可行解域： 当直线经过点时,有最大值, 解得, ,所以 =3. 【点睛】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力. 13. 已知向量平行，则m=　　． 参考答案： ﹣ 【考点】平行向量与共线向量． 【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用． 【分析】直接利用斜率的平行列出方程求解即可． 【解答】解：向量平行， 可得﹣2m=1，解得m=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力． 14. 如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若的面积，则的大小为　　　　　. 参考答案： 90o 略 15. 已知函数则的值为          ． 参考答案： 4 16. 函数在点(1,0)处的切线方程为___． 参考答案： 【分析】 由题意，函数的导数为，得到，再由直线的点斜式方程，即可求解切线的方程。 【详解】由题意，函数的导数为，所以， 即函数在点处的切线的斜率为， 由直线的点斜式方程可知，切线的方程为，即。 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的方程，其中解答中根据导数四则运算的法则，正确求解函数的导数，得出曲线在某点处的切线的斜率，再利用点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 17. 若为等比数列，，且，则的最小值为        参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2． （I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF． 参考答案： 解：（I），，        …………（2分） 又，  ，，                       …………（4分） ，                       …………（5分）  （II），，而，     …………（8分） ，．                        …………（10分） 19. 已知函数f（x）=ax3+x，g（x）=x2+px+q． （Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数F（x）=f'（x）g（x）（其中f'（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线x=﹣1对称，求函数F（x）单调区间； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的x≥1，都有g（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立，求实数λ的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）=0，求出a的值即可； （Ⅱ）根据函数的奇偶性求出p，q的值，求出F（x）的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可； （Ⅲ）问题转化为λ（x﹣lnx）≤x2﹣2x在x∈[1，+∞）上恒成立，得到在x∈[1，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出λ的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax3+x有f'（x）=3ax2+1 因为f（x）在x=1处取得极值，故f'（1）=3a+1=0 ∴ 经检验：当时，符合题意，故 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（x）=（﹣x2+1）（x2+px+q） ∵F（x）的图象关于直线x=﹣1对称，故函数F（x﹣1）为偶函数 又F（x﹣1）=[﹣（x﹣1）2+1][（x﹣1）2+p（x﹣1）+q]=﹣x4+（4﹣p）x3+（3p﹣q﹣5）x2+2（1﹣p+q）x ∴，解得p=4，q=3 ∴F（x）=（﹣x2+1）（x2+4x+3） ∴F'（x）=﹣2x（x2+4x+3）+（﹣x2+1）（2x+4）=﹣4（x+1）（x2+2x﹣1） 令F'（x）＞0有或 令F'（x）＜0有或 ∴函数F（x）在区间上单调递增， 在区间上单调递减 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x≥1，都有g（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立， 可转化为λ（x﹣lnx）≤x2﹣2x在x∈[1，+∞）上恒成立 易知lnx＜x∴在x∈[1，+∞）上恒成立 令，∴ 令h（x）=x+2﹣2lnx（x≥1），∴ ∴h（x）在（1，2）上递减，（2，+∞）上递增 ∴h（x）min=h（2）=4﹣2ln2＞0 ∴φ'（x）≥0，即φ（x）在[1，+∞）上递增 ∴φ（x）min=φ（1）=﹣1 ∴λ≤﹣1． 【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题． 20. 已知向量, , . （Ⅰ）求的值;   （Ⅱ）若, , 且, 求 参考答案： （Ⅰ）, ,  .  ,    , 即   ,   .        （Ⅱ）,   ,   , , . 略 21. （本题14分）已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：过A，F2两点. （1）求椭圆E的方程； （2）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B,C,点Q为椭圆E上的一点，若直线QB,QC的斜率存在且不为0，求证：为定值； （3）设直线PF2的倾斜角为，直线的倾斜角为，当时，证明：点P在一定圆上. 参考答案： 略 22. 已知，，． （Ⅰ）求向量与的夹角θ； （Ⅱ）求及向量在方向上的投影． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角． 【专题】平面向量及应用． 【分析】（Ⅰ）将已知等式展开转化为两个向量的模压机数量积的计算问题，利用数量积公式求θ； （Ⅱ）根据投影的定义，利用数量积公式解答． 【解答】解：（Ⅰ）因为，，． 所以，即16﹣8cosθ﹣3=9， 所以cosθ=， 因为θ∈[0，π]， 所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 所以==5，||=， 所以向量在方向上的投影为：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的夹角以及一个向量在另一个向量的投影；关键是熟练掌握数量积公式以及几何意义．