2021年广西壮族自治区柳州市市龙城中学高三数学理月考试题含解析

2021年广西壮族自治区柳州市市龙城中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的一条对称轴为，且则的最小值为（   ） A．      B．     C．      D． 参考答案： D 2. 某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正               方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（   ）     A．      B.         C.       D.  参考答案： A 3. 已知点A（﹣3，﹣）是抛物线C：y2=2px（p＞0）准线上的一点，点F是C的焦点，点P在C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　） A．3 B． C． D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率． 【解答】解：点A（﹣3，﹣）是抛物线C：y2=2px（p＞0） 准线x=﹣上的一点， 可得﹣=﹣3，即p=6， 则抛物线的标准方程为y2=12x， 则抛物线的焦点为F（3，0），准线方程为x=﹣3， 过P作准线的垂线，垂足为N， 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|， ∵|PF|=m|PA|， ∴|PN|=m|PA|，则=m， 设PA的倾斜角为α，则cosα=m， 当m取得最小值时，cosα最小，此时直线PA与抛物线相切， 设直线PA的方程为y=kx+3k﹣，代入y2=12x， 可得y2﹣y+3k﹣=0， ∴△=1﹣4??（3k﹣）=0， ∴k=或﹣， 可得切点P（2，±2）， 由题意可得双曲线的焦点为（﹣3，0），（3，0）， ∴双曲线的实轴长为﹣=7﹣5=2， ∴双曲线的离心率为e===3． 故选：A． 4. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种   (B) 24种   (C) 30种   (D)36种 参考答案： B 本题主要考查了排列组合问题，难度较低。恰有2人选修甲的选法为. 5. 根据下列算法语句，当输入a=-4时，输出的b的值为     A．-8     B．-5     C．5     D．8 参考答案： A 略 6. 已知函数,若有,则的取值范围为（   ） A.       B.      C.        D. 参考答案： B 7. 若，，则的值为…………………（　　）                         参考答案： A 8. 已知数例为等差数例，其前项的和为，若，则公 差 （A）1 （B）2 （C）3 （D） 参考答案： B 在等差数列中，，解得所以解得，选B. 9. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的ai（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 参考答案： D 【考点】EF：程序框图． 【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解． 【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数， 所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9， 因此输出结果为9． 故选：D． 10. 已知函数，则  (    ) A．32            B．16       C.  D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 曲线y=2x-x3在x=-1处的切线方程为___________. 参考答案： 略 12. 若指数函数的图象过点(－2,4)，则不等式的解集为    ▲    ． 参考答案： (－1,1)   13. 已知函数, 则_____ 参考答案： 14. 若，则()6的展开式中常数项为    . 参考答案： 240 15. 已知x，y满足约束条件的最小值是            . 参考答案： 16. 四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是       ； 参考答案： 17. 如图所示，已知正方形ABCD，以对角线AC为一边作正△ACE，现向四边形区域ABCE内投一点Q，则点Q落在阴影部分的概率为          ． 参考答案： 设正方形的边长为2，则. ∵为正三角形 ∴ ∴阴影部分面积为 ∴向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AT，BT交于点T，且它们的斜率之积为常数﹣λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C． （1）求曲线C的方程，并求其焦点坐标； （2）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最小距离为1．设直线l：x=my+1交曲线C于M，N，直线AM，BN交于点P． （ⅰ）当m=0时，求点P的坐标；（ⅱ）求证：当m变化时，P总在直线x=4上． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）设T（x，y），由直线的斜率公式，化简整理讨论即可得到曲线方程； （2）由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求得焦点和a﹣c为最小值，解得λ，进而得到椭圆方程， （ⅰ）当m=0时，由x=1代入椭圆方程，即可得到P的坐标；（ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立及x=my+1，运用韦达定理和恒成立思想，即可得到定直线x=4． 解答： 解：（1）设T（x，y），则， 化简得，又A，B的坐标（﹣2，0），（2，0）也符合上式， 故曲线C：； 当0＜λ＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为， 当λ＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点为； （2）由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其焦点为， 椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离， 故，∴，曲线C的方程为； （ⅰ）联立解得或， 当时，，解得P（4，3）， 当时，由对称性知，P（4，﹣3）， 所以点P坐标为（4，3）或（4，﹣3）； （ⅱ）以下证明当m变化时，点P总在直线x=4上． 设M（x1，y1），N（x2，y2），联立及x=my+1， 消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，， 直线， 消去y得， 以下只需证明（※） 对于m∈R恒成立． 而 所以（※）式恒成立，即点P横坐标总是4，点P总在直线x=4上， 故存在直线l'：x=4，使P总在直线l'上． 点评：本题考查曲线方程的求法，主要考查椭圆的性质和方程的运用．联立直线方程运用韦达定理以及恒成立思想的运用，属于中档题． 16.（本小题满分12分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0. 求角B的大小； 若a+c=1，求b的取值范围 参考答案： 20. 已知函数     （I）若，求函数f（x）在x=1处的切线方程；     （II）当l≤a≤e+l时，求证：f（x）≤x． 参考答案： 略 21. 已知函数        （1）求函数的最小值和最小正周期；        （2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，若向量与向量共线，求a、b的值。 参考答案：   22. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn﹣1=an2+2an，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【分析】（1）通过4Sn﹣1=an2+2an，令n=1可得首项，当n≥2时，利用4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1）可得公差，进而可得结论． （2）由bn===，利用裂项求和法能证明≤Tn＜． 【解答】（1）解：当n=1时，4a1=4S1=+2a1+1， 解得a1=1． 当n≥2时，4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1， 相减得4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1），即an2﹣an﹣12=2（an+an﹣1）， 又an＞0，∴an+an﹣1≠0，则an﹣an﹣1=2， ∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1． （2）bn===， ∴数列{bn}的前n项和： Tn= =， （Tn）min=T1==， ∴≤Tn＜．