2021年湖南省岳阳市市第五中学高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设复数(i为虚数单位)，则z的虚部为（ ）
A. －1 B. 1 C. –i D. i
参考答案：
A
2. 设点是线段BC的中点，点A在直线BC外，，,则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
参考答案：
A
3. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
参考答案：
D
【分析】
利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，若，则，所以不正确；
对于B中，若，则与的关系不能确定，所以不正确；
对于C中，若，则与的关系不能确定，所以不正确；
对于D中，若，可得，又由，可得，所以是正确的．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．
4. 设O在△ABC的内部，且有则△ABC的面积和△AOC的面积之比为( )
参考答案：
A
略
5. 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)=2－f(x)，若函数与y= f(x)图像的交点为( x1, y1), ( x2, y2),…, ( xm, ym),则（ ）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
参考答案：
B
由f(－x)=2－f(x)得f(x)关于(0,1)对称，
而也关于(0,1)对称，
∴对于每一组对称点 ，
∴，故选B．
6. 若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z|=( )
A． B． C．2 D．
参考答案：
B
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解答： 解：复数z满足（1+i）z=2﹣i，
∴==，
则|z|==．
故选：B．
点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
7. 已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）
C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）
参考答案：
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：由题意知： =π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin（2x++φ），
因为，所得图象关于x=轴对称，
所以， ++φ=kπ+，k∈Z，
所以，φ=kπ﹣，k∈Z，
因为，0＜φ＜π，
所以，φ=．
可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．
故选：B．
8. (2015·湖北教学合作联考)已知由不等式组
确定的平面区域Ω的面积为7，定点M的坐标为(1，－2)，若N∈Ω，O为坐标原点，则的最小值是( )
A．－8 B.－7
C．－6 D.－4
参考答案：
B
9. 设,若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
10.
向量a,b满足，则向量a与b的夹角为 （ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
参考答案：
答案:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若某程序框图如图所示，则运行结果为 ．
参考答案：
5
略
12. 抛物线与其过原点的切线所围成的图形面积为 .
参考答案：
略
13. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足,且 (其中为的前项和),则 __▲.
参考答案：
3
略
14. 在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是 ．
参考答案：
15. 双曲线的渐近线方程为，=_____________
参考答案：
1
16. 若全集，则
参考答案：
17. 若关于的方程的两实根，满足，则实数的取值范围是 。
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间的人数为，试求.
附：参考数据，
若随机变量服从正态分布，则，.
参考答案：
（1）75，135；（2）①；②.
【分析】
（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均数，根据方差公式计算；
（2）①利用正态分布的性质求得；
②根据二项分布的期望公式得出．
【详解】（1）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：
分值区间
频数
5
15
40
75
45
20
∴，
.
（2）①由（1）知服从正态分布，且，
∴.
②依题意，服从二项分布，即～，则.
【点睛】本题考查了正态分布的性质与应用，考查了二项分布的期望公式，考查了频率平均数与方差的运算，属于中档题．
19. 已知过抛物线E：x2=2py（p＞0）焦点F且倾斜角的60°直线l与抛物线E交于点M，N，△OMN的面积为4．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）设P是直线y=﹣2上的一个动点，过P作抛物线E的切线，切点分别为A、B，直线AB与直线OP、y轴的交点分别为Q、R，点C、D是以R为圆心、RQ为半径的圆上任意两点，求∠CPD最大时点P的坐标．
参考答案：
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用点斜法写出直线l的方程为；结合△OMN的几何意义和三角形的面积求法求得p的值即可；
（Ⅱ）设，由x2=4y得，易得切线PA、PB的直线方程，把点P的坐标代入得到直线AB的方程tx﹣2y+4=0，由R的坐标和圆半径的计算方法求得半径的长度，则当PC，PD与圆R相切时角∠CPD最大，所以利用锐角三角函数的定义和不等式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，，所以直线l的方程为；
由得：，
法一：所以，
O到MN的距离，
∴p=2，抛物线方程为x2=4y；
法二：，，故抛物线方程为x2=4y．
（II）设，由x2=4y得，
则切线PA方程为即，
同理，切线PB方程为，
把P代入可得，故直线AB的方程为即tx﹣2y+4=0，
∴R（0，2）由得，
∴，
当PC，PD与圆R相切时角∠CPD最大，
此时，等号当时成立，
∴当时，所求的角∠CPD最大．
综上，当∠CPD最大时点P的坐标为．
法二：同解法一，得AB：tx﹣2y+4=0，注意到OP⊥AB，
∴，
∴
当且仅当t2+8即时等号成立．
20. (本小题满分12分) 如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面 ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）．PA//平面BDE；（2）．平面PAC平面BDE．
参考答案：
【知识点】线面平行，面面垂直 G4 G5
（1）略（2）略
证： (1) 连接， ………… (1分)
在中，为中点，为中点．，
…… (3分)
又平面，平面，．………… (6分)
（2）底面． ………… (8分)
又，平面． ………… (10分)
又平面，∴平面平面. ………(12分)
【思路点拨】(1)线面平行问题中，通常通过线线平行得以证明，
此题中，，所以.
（2）面面垂直通过线面垂直证明，本问中易得平面，从而平面平面.
21. 如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与原点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以为直径的圆过点?请说明理由．
参考答案：
（Ⅰ）直线AB方程为：
依题意 解得
∴ 椭圆方程为． 4分
（Ⅱ）假若存在这样的k值，由得．
∴ ① 6分
设，、，，则 ② 7分
而． 8分
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，
即 ∴ ③
将②式代入③整理解得． 10分
经验证，，使①成立． 11分
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E． 12分
22. 已知集合A＝{x|1
0时，A＝，∵AB，∴∴，∴a≥2.(3)当a<0时，A＝.
∵A?B，∴，∴a≤－2. 综上可知：a＝0或a≥2或a≤－2.
略
