2022-2023学年河北省秦皇岛市秦港职业中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年河北省秦皇岛市秦港职业中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知  ，则 (   ) A.               B. {0}           C. {－1,0}          D. 参考答案： C 因为， ，所以， .选C.   2. 已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则△ABC的形状为（    ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 参考答案： A 【分析】 将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状. 【详解】因为在三角形中，变形为 由内角和定理可得 化简可得： 所以 所以三角形为钝角三角形 故选A 【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题. 3. 已知i是虚数单位，复数（其中）是纯虚数，则m= （A）－2                    （B）2                        （C）                     （D） 参考答案： B 略 4. 若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是 A.                                                 B. C.                                                                         D. 参考答案： D　 ，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，，解得，故选D. 5. 函数的图象可能是（    ）   参考答案： D 当时单调递增，，故A不正确； 因为恒不过点，所以B不正确； 当时单调递减，，故C不正确 ；D正确. 6. 过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小， 则P到圆心的距离最大即可， 由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小， 由，解得，即D（﹣4，﹣2）， 此时|OD|=，|OA|=1， 则，即sin=， 此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式． 7. 对于函数若对于任意存在使得 且，则称为“兄弟函数”.已知 函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数在区间上的最大值为       （A）            （B）2             （C）4           （D） 参考答案： B 8. 定义在R上的奇函数f(x)，当时，，则函数的所有零点之和为（     ） A．      B．        C．       D． 参考答案： D 略 9. 若 对任意实数 都有 ，且，则实数的值等于（    ） A． B．－1或3 C． D．－3或1 参考答案： D 10. 已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（　　） Ａ． Ｂ．        Ｃ． Ｄ．不可类比 参考答案： Ｃ 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（     ） A．          B．       C．   D． 参考答案： C 试题分析：解：因为与在上是“密切函数” 则，即，即， 化简得，因为的，即与轴没有交点，由开口向上得到恒成立；所以由，解得，所以它的“密切区间”为，故答案为C． 考点：1、新定义的概念；2、绝对值不等式的解法． 12. 已知在极坐标系中，圆C的圆心为(6，)，半径为5，直线＝ (≤≤π，∈R)被圆截得的弦长为8，则＝________. 参考答案： 13. 已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 参考答案： 800 14. 执行右侧的程序框图，若输入，则输出          . 参考答案： 15. 设A为曲线M上任意一点，B为曲线N上任意一点，若的最小值存在且为，则称为曲线M，N之间的距离. （1）若曲线M: 为自然对数的底数），曲线N：，则曲线M，N之间的距离为                   ； （2）若曲线M：，曲线N：，则曲线M，N之间的距离为                  ． 参考答案： ，【知识点】单元综合B14 ：（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t， 切点P（x0，y0）． ∵y′=ex，∴ex0=1，∴x0=0．∴y0=1．∴切点P（0，1），∴1=0+t，解得t=1． ∴切线方程为y=x+1． ∴曲线M，N之间的距离=． （2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=-x对称． 设与直线：y=-x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），由曲线N：x2+1+y=0，y′=-2x， 令-2x=-1，解得x=，y=-．切点P(，-)到直线y=-x的距离=． ∴曲线M，N之间的距离为． 【思路点拨】（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．利用导数的几何意义可得切点P（0，1）， 代入y=x+t，解得t=1．可得切线方程为y=x+1．即可得出曲线M，N之间的距离． （2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=-x对称．设与直线：y=-x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），利用导数的几何意义可得切点，利用平行线之间的距离公式即可得出． 16. 不等式的解集是        . 参考答案：   不等式等价于 17. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有     ▲    项． 参考答案： 7 ∴(n－1)(3n＋1)≤132，当n＝6时，5×19＜132；当n＝7时，6×22＝132， 故nmax＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.   在△ABC中，a，b，c分别是角A、C的对边，m=（b，2a－c），n=（cos B，cos C）且m∥n ．   （I）求角B的大小； （Ⅱ）设，且f（x）的最小正周期为，求f（x）在区间上的最大值和最小值。 参考答案： 略 19. [选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2． （1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标． 另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标． 【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）， 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1， 即有椭圆C1： +y2=1； 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2， 即有ρ（sinθ+cosθ）=2， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0， 即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值． 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0， 解得t=±2， 显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值， 即有|PQ|==， 此时4x2﹣12x+9=0，解得x=， 即为P（，）． 另解：设P（cosα，sinα）， 由P到直线的距离为d= =， 当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为， 此时可取α=，即有P（，）． 20. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数 (m＞0) (1)证明：f(x)≥4； (2)若f(2)＞5，求m的取值范围. 参考答案： 【知识点】绝对值不等式的证明  N4 【答案解析】 综上，m的取值范围是． …10分 【思路点拨】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，再利用基本不等式即可证得结论； （Ⅱ）分当时和当时两种情况，分别根据，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求。 21. 已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点． （Ⅰ）求A、B两点的极坐标； （Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4，即可求A、B两点的极坐标； （Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2﹣y2=8，直线（t为参数），代入整理可得t2+4﹣8=0，利用弦长公式求线段MN的长度． 【解答】解：（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4， ∴A、B两点的极坐标分别为（4，），（4，﹣）； （Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2﹣y2=8， 直线（t为参数），代入整理可得t2+4﹣8=0， ∴|MN|==4． 【点评】本题考查直线参数方程的运用，考查极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 22. 在平面直角坐标系xOy中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆O：交于点A，B，与圆M：交于点C，D． （1）若，求CD的长； （2）若CD中点为E，求面积的取值范围． 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在△PME 中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围. 【详解】解：（1）因为AB＝，圆O半径为2 所以点O到直线AB的距离为