2022-2023学年河南省郑州市巩义第五中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年河南省郑州市巩义第五中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 （A）2x+y-3=0      （B）2x-y-3=0         （C）4x-y-3=0      （D）4x+y-3=0  参考答案： A 由图象可知，是一个切点，所以代入选项知，不成立，排除。又直线的斜率为负，所以排除C，选A. 设切线的斜率为，则切线方程为，即 2. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 参考答案： C 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案． 解答： 解：设|AF|=a，|BF|=b， 由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP| 在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由余弦定理得， |AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab， 又∵ab≤（） 2， ∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2 得到|AB|≥（a+b）． ∴≤1，即的最大值为1． 故选C． 点评： 本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题． 3. 下图是根据变量的观测数据()得到的散点图，由这些散点图可以判断变量具有相关关系的图是 (A)①②         (B)①④          (C)②③         (D)③④ 参考答案： D 略 4. 记等比数列的前项和为，若，，则 （   ） A．2 B．6 C．16 D．20 参考答案： D 略 5. 已知非零向量满足０，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为　　 A．          B．       C．          D． 参考答案： B 略 6. 已知函数设，且函数F(x)的零点均在区间内，圆的面积的最小值是 (   ) A.       B.       C.       D. 参考答案： A 略 7. 执行右边的流程框图，若输入的是6，则输出的的值是（    ） A.      B.      C.      D. 参考答案： B 略 8. 若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 参考答案： B 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x． 【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数， ∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1． 故选：B． 9. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且则其焦距为 A．        B．         C．         D．  参考答案： A 10. 以下有关命题的说法错误的是（        ） A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B. “”是“”成立的必要不充分条件 C. 对于命题，使得，则，均有 D. 若为真命题，则与至少有一个为真命题 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，为单位向量，且夹角为60°，若=+3， =2，则在方向上的投影为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，再由向量投影的定义可得在方向上的投影为，计算即可得到所求值． 【解答】解：，为单位向量，且夹角为60°， 可得?=||?||?cos60°=1×1×=， 若=+3， =2， 则?=22+6?=2+6×=5， ||====， 则在方向上的投影为==． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查向量投影的概念，运算能力，属于中档题． 12. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值， 则的取值范围_________. 参考答案： 因为，当且仅当时取最大值，可知且同时满足， 所以，，易得 13. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是        。         参考答案：         14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为        . 参考答案： 15. 已知圆，直线的方程为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数    ▲    。 参考答案： 略 16. 下列命题:① 设，是非零实数，若＜,则;② 若,则;   ③ 函数的最小值是2；④若, 是正数，且，则有最小值16．     其中正确命题的序号是     参考答案： ②  ④ 略 17. 已知正方体中,E,F分别为的中点，那么异面直线AE与所成角的余弦值为              . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=． （1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； （2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值； （3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质． 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何． 【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； （Ⅱ）利用求出平面AA1C1的法向量，通过求出平面A1B1C1的法向量，然后利用求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值； （Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，设M（a，b，0），利用MN⊥平面A1B1C1，结合求出a，b，然后求线段BM的长． 方法二：（I）说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦定理，． 求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为． （II）连接AC1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，说明∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．连接AB1，在△ARB1中，通过， 求出二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为． （III）首先说明MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，推出ND⊥A1B1．证明A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，延长EM交AB于点F， 连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出． 【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点． 依题意得 （I）解：易得， 于是， 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为． （II）解：易知． 设平面AA1C1的法向量=（x，y，z）， 则即 不妨令，可得， 同样地，设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z）， 则即不妨令， 可得． 于是， 从而． 所以二面角A﹣A1C1﹣B的正弦值为． （III）解：由N为棱B1C1的中点， 得．设M（a，b，0）， 则 由MN⊥平面A1B1C1，得 即 解得故． 因此，所以线段BM的长为． 方法二： （I）解：由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角． 因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，， 可得A1C1=B1C1=3． 因此． 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为． （II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1， 又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1， 所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R， 连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角． 在Rt△A1RB1中，． 连接AB1，在△ARB1中， =， 从而． 所以二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为． （III）解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1． 取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点， 所以ND∥C1H且． 又C1H⊥平面AA1B1B， 所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1． 又MN∩ND=N， 所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E， 则ME⊥A1B1，故ME∥AA1． 由， 得，延长EM交AB于点F， 可得．连接NE． 在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2=DE?DM． 所以． 可得． 连接BM，在Rt△BFM中，． 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． 19. 某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号依次为1，2，3，4，5．现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级 1 2 3 4 5 频率 a 0.2 0.45 b c （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，求a，b，c的值； （2）在（1）的条件下，将等级编号为4的3件产品记为x1，x2，x3，等级编号为5的2件产品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表． 【分析】（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，由抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，能求出b，由等级编号为5的恰有2件，能求出c，由此能求出a，b，c的值． （2）从产品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，利用列举法能求出这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 【解答】解：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35． 因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以b==0.15． 等级编号为5的恰有2件，所以c==0.1， 从而a=0.35﹣b﹣c=0.1． 所以a=0.1，b=0.15，c=0.1． （2）从产品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为： （x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1）， （x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2），共10种． 设事件A表示“从5件产品中任取两件，其等级编号相同”， 则A包含的基本事件为： （x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2