2022-2023学年河南省郑州市登封实验高级中学高三数学文期末试卷含解析

2022-2023学年河南省郑州市登封实验高级中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数的定义域为R,且对任意的都有.当时，.若在区间上关于X的方程有五个不同的实数根,则a的取值范围是 A. (1,2)  B.   C.   D. 参考答案： D 2. 已知a＞0，x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(      )     A. B. C.1 D.2 参考答案： B 略 3. 若= ，是第三象限的角，则=                   (     ) （A）-      （B）        （C）      （D） 参考答案： A 4. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（　　）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305） A．22 B．23 C．24 D．25 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：第1次执行循环体后，S==，不满足退出循环的条件，则n=12， 第2次执行循环体后，S==3，不满足退出循环的条件，则n=24， 第3次执行循环体后，S=≈3.1056，满足退出循环的条件， 故输出的n值为24， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答． 5. 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则 （A）a>b>c        　　（B）a>c>b         　（C）b>a>c        　（D）c>a>b 参考答案： B 略 6. 在正项等比数列中，,,数列满足, 则数列的前6项和是（ ）A．0     　　B．2     　       C．3         　D. 5 参考答案： C  7. 已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.2﹣0.6），则a，b，c的大小关系是(     ) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 参考答案： B 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由f（x）是偶函数，则f（x）=f（|x|），单调性在对称轴两侧相反，通过比较自变量的绝对值的大小，可得对应函数值的大小． 【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|）， ∵log47=log2＞1，|3|=|log23﹣1|=log23， 又∵2=log24＞log23＞log2＞1， 0.2﹣0.6==50.6＞＞=2， ∴0.2﹣0.6＞|log2 3|＞|log4 7|＞0． 又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数， ∴f（x）在[0，+∞）上是减函数； ∴f（0.2﹣0.6）＜f（）＜f（log47）；即c＜b＜a． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用，解题的关键是总结出函数的性质，由自变量的大小得出对应函数值的大小． 8. 已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠?，则a等于（　　） A．2 B．3 C．2或4 D．2或3 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠?，可得b值． 【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}， 若A∩B≠?，则a=2或a=3， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 9. 若实数x、y满足，则的取值范围是   A.     B.    C.     D. 参考答案： D 略 10. 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（    ） A．20      B．25    C．40    D．50 参考答案： B 解析：本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为，故答案为B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将边长为1 m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则s的最小值是________． 参考答案： 略 12. 若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是________。 参考答案： 13. 已知扇环如图所示，∠AOB=120°，OA=2，OA′=，P是扇环边界上一动点，且满足=x+y，则2x+y的取值范围为　    ． 参考答案： [，]   【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】记，的夹角为θ，．设为直角坐标系的x轴． =（rcosθ，rsinθ）（≤r≤2），=（2，0），=（﹣1，）， 代入=x+y，得有（rcosθ，rsinθ）=（2x，0）+（﹣y， y）， ?rcosθ=2x﹣y，rsinθ=y，故2x+y=rcosθ+=r（），运用三角函数的知识求解． 【解答】解：记，的夹角为θ，．设为直角坐标系的x轴． =（rcosθ，rsinθ）（≤r≤2），=（2，0），=（﹣1，）， 代入=x+y，得有（rcosθ，rsinθ）=（2x，0）+（﹣y， y）， ?rcosθ=2x﹣y，rsinθ=y， 故2x+y=rcosθ+=r（） ==，其中cosβ=，sin． 又∵．可以取到最大值， 当θ=0时． =1，当θ=1200时． =． ∴∈[，]， ≤2x+y．∵≤r≤2，∴≤2x+y≤ 故答案为：[，] 　 14. 已知满足对任意都有成立，则的取值范围是___       ____． 参考答案： 由对任意都有成立T在R上递增，∴ ，解得，即的取值范围是。 15. 已知函数是函数且）的反函数，其图像过点，则         ． 参考答案： 16. 等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n=     .   参考答案： 6 17. 关于函数，有下列命题： ①其图象关于轴对称； ②当时，是增函数；当时，是减函数； ③的最小值是； ④在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是                            ． 参考答案： ①③④ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程． 参考答案： 19. 已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）． （1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值； （2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性； （3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求导数，利用极值的 定义，即可求a的值； （2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性； （3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立． 【解答】解：． （1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．… （2）当0＜a≤2时，f′（x）= 因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即， 故f（x）在（0，+∞）上是增函数．… （3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a， 故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立 记，（1＜a＜2），则，… 令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0 所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0… 故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减， 所以 即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣log2e]．… 20. 设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 参考答案： （Ⅰ）； （Ⅱ）当或者时，取到最小值. 【分析】 (Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式； (Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即，解得，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 所以； 当或者时，取到最小值. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.   21. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若点P的极坐标为，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值． 参考答案： （1） （2） 【分析】 （1）先将中的消去得普通方程，再利用可得极坐标方程； （2）先求出AB的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得的最大值. 【详解】解：（1）由，得， 即，所以， 即，故曲线C的极坐标方程为. （2）因为P的极坐标为，所以P的直角坐标为， 故可设AB的参数方程为（为参数）. 将代入，得， 设点对应的参数分别为， 则，， 所以， 故的最大值为. 【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题. 22. 已知函数 （I）若函数f(x)在区间求实数的取值范围； （II）讨论函数f(x)的单调区间． 参考答案： 略