2022-2023学年江苏省南京市育才实验中学高一数学理联考试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市育才实验中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设向量,m是向量a 在向量b向上的投影,则m的最大值是 （　　） A． B．4  (c)2 D．3 参考答案： C 2. 若实数a，b满足 ，其中，且，则 A．    B． C．            D． 参考答案： C 当时， ，得到，所以． 当时， ，得到，所以，选C 3. 集合，，则集合M∩N= A. {-1，0，1}     B. {0，1}         C. {0}              D. 参考答案： C 略 4. 化简的结果是(  ) A B C cos80° D 参考答案： C 略 5. 若函数图象关于对称，则实数的值为 A.          B.           C.      D. 参考答案： C 略 6. 已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【分析】由分段函数f（x），我们易求出f（1），f（﹣1）的值，进而将式子f（1）=f（﹣1）转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值． 【解答】解：∵函数， ∴f（﹣1）=2，f（1）=a， 若f（1）=f（﹣1）， ∴a=2， 故选B． 7. 下图是2010年我市举行的名师评选活动中，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为(　　　) A.84，4.84           B.84， 1.6          C.85，1.6           D.85，4   参考答案： C 略 8. ，，的大小关系是（     ） A．      B．     C．    D． 参考答案： B 9. 下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（　　） （1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A．（4）（1）（2） B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4） 参考答案： A 【考点】3O：函数的图象． 【分析】根据小明所用时间和离开家距离的关系进行判断．根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0； 由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化； 由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快． 【解答】解：（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）； （2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）； （3）最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象（2）． 故答案为：（4）（1）（2）， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对四个图象进行分析，即可得到答案． 10. （3分）在△ABC中，点D在线段BC上，且=，点O在线段DC上（与点C，D不重合）若=xy，则x﹣y的取值范围是（） A． （﹣1，0） B． （﹣1，﹣） C． （﹣2，﹣1） D． （﹣，﹣1） 参考答案： B 考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果． 解答： ∵==﹣m=﹣m（﹣）=m+（1﹣m）， ∵=，点O在线段DC上（与点C，D不重合）， ∴m∈（0，）， ∵=xy， ∴x=m，y=1﹣m， ∴x﹣y=m﹣（1﹣m）=﹣1+2m， ∴x﹣y∈（﹣1，﹣） 故选：B 点评： 本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 个正数排成行列:                                                                           其中每一行的数由左至右成等差数列,每一列的数由上至下成等比数列,并且所有公比相等,已知,,,则=            . 参考答案： 12. 若平面向量与夹角为60°，，且，则          ． 参考答案： 1 13. 给出下列命题：                                ①存在实数,使； ②存在实数，使； ③函数是偶函数； ④是函数的一条对称轴方程； ⑤若是第二象限的角，且，则； ⑥在锐角三角形ABC中，一定有；   其中正确命题的序号是 _     ____。 参考答案： ③④⑥ 略 14. 命题“若”的否命题为                  ； 参考答案： 若，则；   15. 已知x、y为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则集合M中所有元素之和为            ． 参考答案： 略 16. 如右图，棱长为的正方体中，为线段上的动点(不含端点)，下列结论： ①与平面所成角为    ② ③二面角 的大小为  ④的最小值为 其中正确结论的序号是                ．（写出所有正确结论的序号） 参考答案： ②③④ 17. 若,，且与的夹角为，则     。 参考答案：  解析： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 参考答案： 考点： 根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义． 专题： 应用题；压轴题． 分析： （Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可； （Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论． 解答： 解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时， 未租出的车辆数为， 所以这时租出了88辆车． （Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元， 则租赁公司的月收益为， 整理得． 所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050， 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元． 点评： 本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究． 19. 已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在作用下的原像.（12分） 参考答案： 的像是，  的原像是或 略 20. 已知分别以为公差的等差数列满足。                  （1）若，且存在正整数，使得，求证：；   （2）若，且数列的前项和满足 ，求数列的通项公式；    （3） 在（2）的条件下，令，问不等式是否对 恒成立？请说明理由。   参考答案： 解：（1）依题意，，         即， 即；        等号成立的条件为，即 ，        ，等号不成立，原命题成立．   （2）由得：，即：，        则，得         ，，则，；  （3）在（2）的条件下，，，       要使≤，即要满足≤0，       又，，∴数列单调减；单调增， ①  当正整数时，，，； ②  当正整数时，，，； ③ 当正整数时，，，，    综上所述，对∈N+，不等式≤恒成立． 略 21. 若|sinθ| =，且<θ< 5π，  求： （1）tanθ的值；  （2）若直线的倾斜角为θ，并被圆（x-1）2+(y+1)2=5截得弦长为4，求这条直线的方程 参考答案： 略 22. （10分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣n2+3n﹣2（n∈N*）． （Ⅰ）求证：数列{an+2n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=，求数列{bn}的前n项和Bn； （Ⅲ）若cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜． 参考答案：