2022-2023学年四川省宜宾市文县第一中学高二数学文测试题含解析

2022-2023学年四川省宜宾市文县第一中学高二数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长FM交双曲线C1于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（　　） A． B． C． +1 D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出NF′的长度及判断出NF′垂直于NF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率． 【解答】解：如图，记右焦点为F′， 则O为FF′的中点， ∵M为NF的中点， ∴OM为△FF′N的中位线， ∴NF′=2OM=2a， ∵M为切点， ∴OM⊥NF， ∴NF′⊥NF， ∵点N在双曲线上， ∴NF﹣NF′=2a， ∴NF=NF′+2a=4a， 在Rt△NFF′中，有：NF2+NF′2=FF′2， ∴16a2+4a2=4c2，即5a2=c2， ∴离心率e==． 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，注意解题方法的积累，属于中档题． 2. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A．0       B．1        C．2         D．3 参考答案： B 3. 设双曲线﹣=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线方程求得双曲线的一条渐近线方程，与抛物线方程联立消去y，进而根据判别式等于0求得，进而根据c=求得即离心率． 【解答】解：双曲线的一条渐近线为， 由方程组，消去y， 有唯一解， 所以△=， 所以，， 故选D 4. 在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a ·sin b ，则∠ c 为(　　)． a．60°    b．45°    c．120°   d．30° 参考答案： A 5. 不等式的解集是（    ）   A．    B。且   C．      D。且 参考答案： D  解析：取和排除B、A、C 6. 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（　　） A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是奇数 C．真命题的个数一定是偶数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 参考答案： C 【考点】四种命题． 【分析】根据四种命题的逻辑关系判定即可． 【解答】解：互为逆否命题的命题逻辑值相同， 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中， 原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否， 所以真命题的个数可能为0，2，4，一定是偶数， 故选：C． 7. 在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点)重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点，则的最大值为（   ） A．7         B．6       C．5       D．4 参考答案： B 8. 抛物线y=ax2(a<0)的焦点坐标是（    ） A.（0，）        B.(0,)          C.(0,－)    D.(－,0) 参考答案： B 略 9. 若实数满足不等式组，则的最大值为（  ） A. 1           B.0              C.-1        D. -3 参考答案： B 10. 不等式的解集为 A． B． C．  D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知为等差数列，为的前n项和，，若，则 值为____. 参考答案： 略 12. 设θ∈R，则“sinθ=0”是“sin2θ=0”的　  　条件．（选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 参考答案： 充分不必要 根据充分条件和必要条件的定义，结合三角函数的倍角公式进行判断即可． 解：当sinθ=0时，sin2θ=2sinθcosθ=0成立，即充分性成立， 当cosθ=0，sinθ≠0时，满足sin2θ=2sinθcosθ=0，但sinθ=0不成立，即必要性不成立， 即“sinθ=0”是“sin2θ=0”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 13. 对于实数，用表示不超过的最大整数，如若，,为数列的前项和，则： （1）= ；    （2）=             ． 参考答案： 6; . 14. 函数的定义域为          ． 参考答案：   (－2,0)∪(0,2)   15. 已知a、b是不同的直线，、、是不同的平面，给出下列命题： ①若∥，a，则a∥     ②若a、b与所成角相等，则a∥b ③若⊥、⊥，则∥    ④若a⊥, a⊥，则∥ 其中正确的命题的序号是________________ ． 参考答案： ①④ 16. 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为            元. 参考答案： 36800 17. 对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： [﹣2，+∞） 【考点】函数恒成立问题． 【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥﹣（|x|+），由基本不等式的性质，易得a的范围，综合两种情况可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论； ①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R； ②x≠0时，原式可化为a|x|≥﹣（x2+1），即a≥﹣（|x|+）； 又由|x|+≥2，则﹣（|x|+）≤﹣2； 要使不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥﹣2即可； 综上可得，a的取值范围是[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，． (1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围； (3)设m，n为正实数，且，求证：． 参考答案： （1）；（2）；（3）见解析 【分析】 (1)求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程；(2)由(1)知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围；(3)利用分析法证明，要证，只需证 ，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论． 【详解】，．   是函数的极值点，，解得， 经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意 此时切线的斜率为，切点为， 则所求切线的方程为 (2)由(1)知 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以不等式在区间上恒成立 即在区间上恒成立， 当时，由可得， 设，，， 当且仅当时，即时，， 又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增， 且，， 所以当时，恒成立， 即，也即 则所求实数a的取值范围是 ，n为正实数，且，要证，只需证 即证只需证  设，， 则在上恒成立， 即函数在上是单调递增， 又，，即成立， 也即成立. 【点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质． 19. （14分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点． （1）设点A（1，）是椭圆C上的点，且F1（﹣1，0），F2（1，0），试写出椭圆C的方程； （2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程； （3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN，试探究KPM?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论． 参考答案： 20. 一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表： 网购金额 (单位：千元) 频数 频率 [0,0.5) 3 0.05 [0.5,1) [1,1.5) 9 0.15 [1.5,2) 15 0.25 [2,2.5) 18 0.30 [2.5,3] 合计 60 1.00 若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”，已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3. (1)确定，，，的值，并补全频率分布直方图； （1）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数； （2）若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”. 参考答案： (1)由题意，得， 化简，得， 解得，. ∴，. 补全的频率分布直方图如图所示： (2)设这60名网友的网购金额的平均数为. 则(千元) 又∵，. ∴这60名网友的网购金额的中位数为(千元)， ∵平均数，中位数， ∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”. 21. （本小题12分） 已知命题：方程的图象是焦点在轴上的双曲线；命题：方程无实根；又为真，为真，求实数的取值范围. 参考答案： 解：∵方程是焦点在y轴上的双曲线， ∴，即 .故命题：；  …………………………3分 ∵方程无实根，∴， 即 ，∴.故命题：. …………………6分 ∵又为真，为真，  ∴真假.  ………………………………8分 即，此时；……11分   综上所述：.……12分 略 22. （本小题满分14分）设.   （1）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；   （2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）由已知得：，   ………………… 1分   要使在其定义域为单调递增函数，只需， 即在上恒成立，  显然，且