2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市康金第三中学高一数学理期末试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市康金第三中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角B等于（　　）． A.60° 或120°   B.30° 或150°   C. 60°   D. 120° 参考答案： A 分析：直接利用正弦定理即可得结果. 详解：∵中，，，， ∴由正弦定理得：， ∵，∴， 则或， 故选． 2. 已知在中满足：，则角等于   （    ） ． ． ． ． 参考答案： A 略 3. 数列满足，则（   ） A.3          B.          C.6           D. 参考答案： B 4. （5分）已知点A（x，y）是30°角终边上异于原点的一点，则等于（） A． B． ﹣ C． D． ﹣ 参考答案： C 考点： 任意角的概念． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用任意角三角函数的定义知：点A（x，y）是α角终边上异于原点的一点，则=tanα，由此利用正切函数的定义能求出结果． 解答： ∵点A（x，y）是30°角终边上异于原点的一点， ∴=tan30°=． 故选：C． 点评： 本题考查任意角三角函数值的求法，是基础题，解题时要熟练掌握任意角三角函数的概念． 5. 幂函数（是常数）的图象（ ） A. 一定经过点    B. 一定经过点 C. 一定经过点    D. 一定经过点 参考答案： C 试题分析：因为时，幂函数的图象不过点，故A错；是偶数时幂函数的图象不过点，故B错；由幂的运算性质，令，对任意的总有，即幂函数的图象一定经过点，故选C. 考点：幂函数的性质. 6. 设，则的大小关系是（      ） A．     B．    C．     D． 参考答案： A 7. 下列函数表示同一函数的是 （　　 ）       A、                 B.   C、    D、 参考答案： B 8. 函数的定义域为(　　) (A){x|x≤1}      (B){x|x≥0}        (C) {x|0≤x≤1 }     (D) {x|x≥1或x≤0} 参考答案： C 9. （5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（） A． x﹣2y﹣1=0 B． x﹣2y+1=0 C． 2x+y﹣2=0 D． x+2y﹣1=0 参考答案： A 考点： 两条直线平行的判定；直线的一般式方程． 专题： 计算题． 分析： 因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值 解答： 解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0）， ∴1﹣0+c=0 故c=﹣1， ∴所求方程为x﹣2y﹣1=0； 故选A． 点评： 本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活． 10. 若都是奇函数，在上存在最大值5，则在上存在 A．最小值-5                  B．最小值-1                    C．最大值-5                  D．最大值-3 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数与函数的图像有且只有1个公共点,则的取值范围是 参考答案： 12. 某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是____ ． 参考答案： 13. 已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，则f(-1)=        . 参考答案： 14. 一名模型赛车手遥控一辆赛车。先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角，被称为一次操作。若五次操作后赛车回到出发点，则角=_____ 参考答案： 720或1440 15. 数列中，则              .    参考答案： 46 16. 关于函数f(x)＝4sin(2x＋), (x∈R)有下列命题： ①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； ② y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)； ③y＝f(x)的图象关于(－，0)对称； ④ y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称； 其中正确的序号为                。 参考答案： ②③ 略 17. 已知是定义在∪上的奇函数，当时， 的图象如右图所示，那么的值域是         参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数， （1）求不等式的解集； （2）若对一切，均有成立，求实数的取值范围. 参考答案： （1） 不等式的解集为 （2） 当时，恒成立， 即 对一切，均有不等式成立. 而（当时等号成立）.    实数的取值范围是 略 19. （12分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a?f（x），其中． 若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验， 当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ （Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 参考答案： 考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题． 分析： （Ⅰ）由a=4，得y=a?f（x），即；令y≥4，解得x的取值范围． （Ⅱ）要使接下来的4天中能够持续有效治污，即当6≤x≤10时，≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值． 解答： （Ⅰ）因为a=4，所以； 则当0≤x≤4时，由，解得x≥0，所以此时0≤x≤4， 当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，所以此时4＜x≤8； 综合，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． （Ⅱ）当6≤x≤10时，==， 因为，14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4， 所以，，由基本不等式得，当且仅当时，y有最小值为； 令，解得，所以a的最小值为． 点评： 本题考查了分段函数模型的应用以及基本不等式的应用问题，解题时应分区间考虑函数的解析式，是易错题． 20. 已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。 (1）求四棱锥P－ABCD的体积； (2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论; (3）求四棱锥P－ABCD的侧面积. 参考答案： 由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ∴ (2) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE。证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC- 又∵  ∴BD⊥平面PAC　∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC  ∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE (3) 由（１）知PC⊥CD,PC⊥BC,CD=CB, ∴Rｔ△PCD≌Rｔ△PCB ∵AB⊥BC,AB⊥PC,　　∴AB⊥平面PCB　∵PB平面PBC，∴AB⊥PB 同理AD⊥PD，∴四棱锥P－ABCD的侧面积==2+ 21. 已知函数f(x)=的定义域为[m，n]，值域为[logaa（n﹣1），logaa（m﹣1）]，且f（x）在[m，n]上为减函数．（常数a＞0，且a≠1） （1）求证m＞2. （2）求a的取值范围． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（1）由已知中f（x）在[m，n]上为减函数，根据函数的单调性以及对数式中底数及真数的限制条件，可得m＞2， （2）关于x的方程loga=logaa（x﹣1）在（2，+∞）内有二不等实根m、n，令Φ（x）=ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a），我们易得Φ（2）?Φ（4）＜0，进而根据零点存在定理，得到答案即可． 【解答】解：（1）按题意，得loga=f（x）max=logaa（m﹣1）． ∴，即　m＞2． （2）由题意，loga=fmin（x）=logaa（n﹣1） ∴关于x的方程loga =logaa（x﹣1）， 在（2，+∞）内有二不等实根x=m、n， ?关于x的二次方程ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a）=0在（2，+∞）内有二异根m、n， ??0＜a＜．　　 故0＜a＜． 22. 某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？ 参考答案： 20 【分析】 设这种车开年报废比较合算，当时，总费用为，平均费用：，当，即时，取最小值．当时，平均费用：，由此得到这种车开20年报废比较合算． 【详解】设这种车开年报废比较合算，当时，总费用为： ， 平均费用： ， 当，即时，取最小值． 当时，平均费用：． ∴ 这种车开20年，平均使用费用最低，故这种车开20年报废比较合算． 【点睛】本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．