2022年江苏省徐州市第五中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022年江苏省徐州市第五中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（　　） A．3 B． C． D．2 参考答案： D 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】设出一个虚轴端点为B（0，b）以及双曲线的一条渐近线，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可． 【解答】解：设双曲线的一个虚轴端点为B（0，b）， 双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0， 则点B到bx﹣ay=0的距离d===， 即c=2a， ∴双曲线C的离心率为e==2， 故选：D 2. 设a＞0，b＞0．[ A．若，则a＞b B．若，则a＜b C．若，则a＞b D．若，则a＜b 参考答案： A 若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除． 3. 若集合，那么（    ） A.      B.     C.      D. 参考答案： A 略 4. 已知第一象限内的点M既在双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．1+ D．2+ 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF1F2为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可． 【解答】解：∵设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2， ∴抛物线的准线方程为x=﹣c， 若△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形， 由于点M也在抛物线上， ∴过M作MA垂直准线x=﹣c 则MA=MF2=F1F2， 则四边形AMF2F1为正方形， 则△MF1F2为等腰直角三角形， 则MF2=F1F2=2c，MF1=MF2=2c， ∵MF1﹣MF2=2a， ∴2c﹣2c=2a， 则（﹣1）c=a， 则离心率e===1+， 故选：C 5. 球O的表面积为，则球O的体积为 A． B． C． D． 参考答案： D 略 6. 函数的零点所在的一个区间是（   ） A．（-2，-1）     B．（-1，0）       C．（0，1）        D．（1，2） 参考答案： B 7. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （A）   (B)    （C）   (D)     参考答案： B 本题主要考查了函数的单调性、奇偶性和函数图像的翻折变换，难度较小.选项A为奇函数，C、D在均为减函数，故选B.   8. 已知是函数的图象与轴的两个不同交点，其图象的顶点为，则面积的最小值是（　　） A．１     B． 　　 C．      D． 参考答案： A 略 9. （2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（    ） A． B． C． D． 参考答案： B ． 10. 双曲线离心率的范围是（   ） A.         B.          C.         D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为　   　． 参考答案： 12. 如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是　　． 参考答案： 2 考点： 向量在几何中的应用． 专题： 转化思想． 分析： 令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可 解答： 解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ， 如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（﹣θ）=cosθ 故=（cosθ+sinθ，cosθ） 同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ）， ∴=（cosθ+sinθ，cosθ）?（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ， 的最大值是2 故答案是 2 点评： 本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标． 13. 由，，，…，这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝     对值等于的四位数的个数是          . 参考答案：      14. 已知函数则  ▲   ． 参考答案： 2 f(-9)=f(-9+10)=f(1)=3-1=2 15. （理）关于的方程的一个根是， 在复平面上的一点对应的复数满足，则的取值范围是        参考答案： 略 16. 如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为        ． 参考答案： 6 略 17. 已知集合，则集合            . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=． ①求的值． ②若，求△ABC的面积S的最大值． 参考答案： 【考点】解三角形． 【分析】①根据=﹣，利用诱导公式cos（﹣α）=sinα化简所求式子的第一项，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值； ②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的面积公式S=bcsinA表示出三角形的面积，把sinA的值代入得到关于bc的关系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值． 【解答】解：①∵cosA=， ∴ = =； ②， ∴， ， ∴，， ∴， ． 19. （12分）     已知数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn.    （1）求数列{an}的通项公式；    （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： 解析：（1）∵点的图象上， ∴   …………2分 当n=1时，； 当 （1） 当n=1时，也满足（1）式. ∴数列{an}的通项公式为   …………4分 （2）由 ∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn，∴Kn=2n+2 又∵  …………6分 ∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）·4n   ① 由①×④得：4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+2）·4n+1  ② 由①－②：得  ……8分 =4× ∴   …………12分 20. 将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程． 参考答案： 解：由题意，得旋转变换矩阵 ，  设上的任意点在变换矩阵M作用下为， ∴，得 将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为． 21. 如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，。记，和的面积分别为和。 （I）当直线与轴重合时，若，求的值； （II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由   参考答案： （I）， 解得：（舍去小于1的根） （II）设椭圆，，直线： 同理可得， 又和的的高相等 如果存在非零实数使得，则有， 即：，解得 当时，，存在这样的直线；当时，，不存在这样的直线。 【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂） 22. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设，若对任意，恒有成立，求的取值范围． 参考答案： 解：（1）的定义域为. 当时，，故在单调递增； 当时，，故在单调递减； 当时，令，解得 即时，；时，； 故在单调递增，在单调递减； （2）不妨设，而，由（1）知在单调递减， 从而对任意，恒有 令，则 等价于在单调递减，即， 从而， 故的取值范围为 略