2022-2023学年辽宁省沈阳市新兴实验高级中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是
参考答案：
D
略
2. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
3. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C. D．
参考答案：
A
4. 函数的图像可能是（ ）
参考答案：
B
5. 函数的图象是（ ）
参考答案：
A
6. 设双曲线的半焦距为且直线过和两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
参考答案：
D
由题意,ab=c2，∴a2(c2-a2)=,整理得3e4-16e2+16=0.解之得e2=4或e2=
又0
2a2e2>2,故e2=4.∴e=2．
7. 已知向量=（1，2），2+=（3，2），则=（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）
参考答案：
B
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．
【解答】解： =（1，2），2+=（3，2），
则=（2+）﹣2=（3，2）﹣2（1，2）=（3，2）﹣（2，4）=（3﹣2，2﹣4）=（1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．
8. 函数的零点所在区间是( )
A.(O,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案：
B
略
9. 双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，的中点在轴上，线段的长为，则该双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
D
10. 已知集合，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
A
。命题意图：考查学生对描述法表示集合的理解及集合的运算。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平行四边形ABCD中，AB=1，E是BC边上靠近点B的三等分点，AEBD，则BC长度的取值范围是____________.
参考答案：
（1，3）
略
12. 计算__________
参考答案：
－20
13. 曲线﹣y2=1（n＞1）的两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF1+PF2=2，则△PF1F2的面积为 ．
参考答案：
1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F1、F2是双曲线的左右焦点，然后得到两个关于|PF1|与|PF2|的等式，然后分别求解，最后得出|PF1||PF2|=2，解出结果．
【解答】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，
P为右支上一点，
|PF1|﹣|PF2|=2①
|PF1|+|PF2|=2②，
由①②解得：
|PF1|=+，|PF2|=﹣，
得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2，
又由①②分别平方后作差得：
|PF1||PF2|=2，
则△PF1F2的面积为S=|PF1||PF2|==1，
故答案为：1
14. 设函数，若，则______.
参考答案：
【分析】
根据定义判断出函数为奇函数，再根据奇函数的性质可得答案.
【详解】因为函数的定义域是且，
是关于坐标原点对称的，当时，是奇函数；
当时，，故是奇函数；
综上，对任意，都有是奇函数.所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了奇函数定义，考查了奇函数的性质，属于基础题.
15. 已知则的值为 .
参考答案：
3
略
16. 在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则|AB|= .
参考答案：
略
17. 将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ．
参考答案：
17
考点：系统抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．
解答： 解：样本间距为48÷4=12，
则另外一个编号为5+12=17，
故答案为：17．
点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若不等式对任意的正实数恒成立，求正实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：
参考答案：
（Ⅰ）令函数，定义域是
由，可知函数在上单调递减
故当时，，即. ……………………………3分
（Ⅱ）因为，故不等式可化为……
问题转化为式对任意的正实数恒成立，
构造函数，
则，……………6分
（1）当时，，即在上单调递增，
所以，即不等式对任意的正实数恒成立.
（2）当时，
因此，函数单调递减；
，函数单调递增，
所以
，令，
由(Ⅰ)可知，不合题意.
综上可得，正实数的取值范围是. ………………10分
（Ⅲ）要证，即证，
由（Ⅱ）的结论令，有对恒成立，
取可得不等式成立，
综上，不等式成立. ………………………………14分
19. 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD'的体积．
参考答案：
【分析】（Ⅰ）连接BD交AE于点O，推导出Rt△ABD～Rt△DAE，从而得到OB⊥AE，OD'⊥AE，由此能证明AE⊥平面OBD'．
（Ⅱ）由VA﹣BCD'=VD'﹣ABC，能求出三棱锥A﹣BCD'的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得，
所以Rt△ABD～Rt△DAE，
所以∠DAE=∠ABD，所以∠AOD=90°，所以AE⊥BD，
即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′=O，
OB，OD'?平面OBD'．
所以AE⊥平面OBD'．
解：（Ⅱ）因为平面AD'E⊥平面ABCE，
由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，
所以OD'为三棱锥D'﹣ABC的高，
在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，DE=1，所以，
所以VA﹣BCD'=VD'﹣ABC==
即三棱锥A﹣BCD'的体积为．
【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．
20. 在△ABC中，角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，若，．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
参考答案：
（1）32；（2）．
试题分析：（1）利用平面向量的数量积的运算，化简，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及的值代入计算即可求出的值；（2）由基本不等式求出的范围，根据，得出，进而利用余弦函数的性质求出角的范围，再化简，即可求出的值域．
试题解析：（1）因为，所以，
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，
由于，所以．
所以的值域为．
21. （本小题满分14分）
已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）若时， 恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
略
22. 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于），直线，分别与直线交于两点
（1）求双曲线的方程；
（2）是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由.
参考答案：
（1）
（2）
因为三点共线
，同理
