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2022年河北省保定市腰山中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设的三个内角所对的边分别是,已知,,,则()
A. B. C. D. 3
参考答案:
C
略
2. 一个长为12m,宽为4m的长方形内部画有一个中国共青团团徽,在长方形内部撒入80粒豆子,恰好有30粒落在团徽区域上,则团徽的面积约为( )
A.16m2 B.30m2 C.18m2 D.24m2
参考答案:
C
【考点】模拟方法估计概率.
【分析】根据几何概型的概率公式,可以求出豆子落在团徽区域上的概率,然后即可得到团徽的面积.
【解答】解:设团徽的面积S,满足=,即S=18m2,
故选:C
3. 设满足不等式组,若的最大值为,最小值为,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析: 一般作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解即可.三个交点,,代入得:
考点: 线性规划,最优解
4. 为了得到函数,的图象,只需把函数,的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
参考答案:
B
只需把向左平移个单位长度
故选
5. 两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离为( )
A.2 B. C.1 D.2
参考答案:
A
【考点】两条平行直线间的距离.
【专题】转化思想;直线与圆.
【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出.
【解答】解:两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离==2.
【点评】本题考查了两条平行线之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6. 方程x﹣sinx=0的根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.
【分析】方程x﹣sinx=0的根的个数可转化为函数f(x)=x﹣sinx的零点个数,有导数证明函数是单调函数,f(x)零点有且只有一个为0.从而方程x﹣sinx=0的根有且只有一个为0
【解答】解:方方程x﹣sinx=0的根的个数可转化为函数f(x)=x﹣sinx的零点个数,
∵f′(x)=1﹣cosx,﹣1≤cosx≤1,所以1﹣cosx≥0,即f′(x)≥0,
所以f(x)=x﹣sinx在R上为增函数.
又因为f(0)=0﹣sin0=0,所以0是f(x)唯一的一个零点,
所以方程x﹣sinx=0的根的个数为1,
故选:A.
7. 若函数,则( )
A. B. C. D.4
参考答案:
D
略
8. 函数f ( x ) = log( 2 x 2 + 2 x+ 1 ) x是( )
(A)偶函数 (B)奇函数 (C)奇且偶函数 (D)非奇非偶函数
参考答案:
A
9. ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
10. 如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列结论不恒成立的时( ).
A. EP与SD异面 B. EP∥面SBD
C. EP⊥AC D. EP∥BD
参考答案:
D
如图所示,连接AC、BD相交于点O,连接EM,EN.
(1)由正四棱锥S?ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,∴SO⊥AC.
∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD,
∵E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,∴EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=N,
∴平面EMN∥平面SBD,∴AC⊥平面EMN,∴AC⊥EP.故C正确。
(2)由异面直线的定义可知:EP与SD是异面直线,故A正确;
(3)由(1)可知:平面EMN∥平面SBD,∴EP∥平面SBD,因此B正确。
(4)当P与M重合时,有∥,其他情况都是异面直线即D不正确。
故选D
点睛:本题抓住正四棱锥的特征,顶点在底面的投影为底面正方形的中心,即SO⊥底面ABCD,EP为动直线,所以要证EP∥面,可先证EP所在的平面平行于面SBD,要证⊥可先证AC垂直于EP所在的平面,所以化动为静的处理思想在立体中常用.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=的图象与其反函数图象重合,则a= .
参考答案:
3
【考点】反函数.
【分析】由y=,解得x=,可得反函数,利用函数y=的图象与其反函数图象重合,即为同一个函数即可得出.
【解答】解:由y=,解得x=,把x与y互换可得:y=,
∵函数y=的图象与其反函数图象重合,
∴a=3.
故答案为:3.
12. 等比数列{an}中,Sn为数列的前n项和,若Sn+1,Sn,Sn+2为等差数列,则q =_________.
参考答案:
-2
13. 幂函数的图象过点,则n=_____,若f(a-1)<1,则a的取值范围是________
参考答案:
-3, a<1或a>2
略
14. sin215°﹣cos215°= .
参考答案:
﹣
【考点】二倍角的余弦.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由条件利用二倍角的余弦公式化简所给的式子可得结果.
【解答】解:,
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.
15. 过点(3,5)且与原点距离为3的直线方程是 。
参考答案:
x=3和8x-15y+51=0
16. 设函数,则的值为 .
参考答案:
4
略
17. 已知函数,若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是___________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数(为实数,,),若,且函数的值域为,
(1)求的表达式;
(2)当时,是单调函数,求实数的取值范围;
参考答案:
解:(1)因为,所以.
因为的值域为,所以 …………3分
所以. 解得,. 所以. …………6分
(2)因为
=, …………8分
所以当 或时单调.…………12分
即的范围是或时,是单调函数. …………14分
19. 不等式的解集为,求实数的取值范围。
参考答案:
解析:
当时,并不恒成立;
当时,则
得
20. (2016秋?建邺区校级期中)己知全集 U=R,集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<log2 x<4}.
(1)求A∪B;
(2)求(?UA )∩B.
参考答案:
【考点】交、并、补集的混合运算;并集及其运算.
【专题】集合思想;定义法;集合.
【分析】(1)化简求得B,再由并集的运算即可得到;
(2)求得A的补集,再求B的交集,即可得到.
【解答】解:(1)全集 U=R,集合 A={x|3≤x<7},
B={x|2<log2 x<4}={x|4<x<16|,
则A∪B={x|3≤x<16};
(2)(?UA )∩B={x|x<3或x≥7}∩{x|4<x<16|
={x|7≤x<16}.
【点评】本题考查集合的运算,主要是交、并和补集的运算,考查运算能力,属于基础题.
21. 函数.
(I)若是偶函数,求实数的值;
(II)当时,求在区间上的值域.
参考答案:
(I); (4分)
(II)当时,令, (8分)
则 值域为 . (14分)
略
22. 已知为单位向量,.
(1)求;
(2)求与的夹角的余弦值;
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)利用向量的模的公式求;(2)利用向量的夹角公式求与的夹角的余弦值.
【详解】由题得;
由题得与的夹角的余弦值为
故答案:(1);(2).
【点睛】本题主要考查向量的模和数量积的计算,考查向量夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
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