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2022年安徽省铜陵市铜都双语学校高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图,如果输入a=2,b=2, 那么输出的a值为
A. 4 B. 16 C 256 D.65536
参考答案:
C
2. 函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:,当时,递减,当时,递增,又是减函数,因此的增区间是,故选D.
考点:函数的单调性.
3. 已知,那么( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 为了得到函数y=sin2x+cos2x的图像,只需把函数y=sin2x-cos2x的图像
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
参考答案:
C
5. 如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=( )
A. B. C. D.2
参考答案:
B
【考点】9V:向量在几何中的应用.
【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出,代入并进行向量的数乘运算便可得出,而,这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ,μ的方程组,解出λ,μ便可得出λ+μ的值.
【解答】解:,,;
∴=
=
=;
∴由平面向量基本定理得:;
解得;
∴.
故选B.
【点评】考查向量加法、减法,及数乘的几何意义,以及向量的数乘运算,相等向量的概念,平面向量基本定理.
6. 已知偶函数满足,当时,;若函数有3个零点,则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
先根据奇偶性确定周期性,再根据图象确定有3个零点的条件,解得结果.
【详解】为偶函数,所以周期为4,根据偶函数以及当时,作出图象,结合图象要使图象确定有3个零点,需解得
故选A
【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及函数零点,考查综合分析求解能力,属基础题.
7. 圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面,那么此圆锥的轴截面是
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.顶角为30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形
参考答案:
A
8. 已知i为虚数单位,复数z满足:,则z在复平面内对应点的坐标为( )
A. (0,1) B.(0,-1) C. (1,0) D. (-1,0)
参考答案:
B
【分析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简即可.
【详解】由,得,∴复数z在复平面内对应的点为(0,﹣1),
故选:B.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.
9. 定义在(0,)上的函数是它的导函数,且恒有成立,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={3,4,5},图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{3} B.{1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
参考答案:
B
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【专题】集合.
【分析】先观察Venn图,图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中,但不在集合B中,得出图中阴影部分表示的集合,再结合已知条件即可求解.
【解答】解:图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中,但不在集合B中.
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUB)∩A,
又全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={3,4,5},
∵CUB={1,2},
∴(CUB)∩A={1,2}.
则图中阴影部分表示的集合是:{1,2}.
故选B.
【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识,考查数形结合思想.属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知非零向量,,满足||=||=||,<>=,则的最大值为 .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】平面向量及应用.
【分析】设, =,则=.非零向量,,满足||=||=||,可得△OAB是等边三角形.设=,则=, =.由<>=,可得点C在△ABC的外接圆上,则当OC为△ABC的外接圆的直径时,取得最大值.
【解答】解:设, =,则=.
∵非零向量,,满足||=||=||,
∴△OAB是等边三角形.
设=,则=, =.
∵<>=,
∴点C在△ABC的外接圆上,
则当OC为△ABC的外接圆的直径时,取得最大值==.
故答案为:.
【点评】本题考查了向量的三角形法则、等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12. 双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______.
参考答案:
由双曲线的方程知,所以双曲线的渐近线方程为.
13. 设则从小到大的关系为___________
参考答案:
14. 二项式展开式中含x2项的系数是 。
参考答案:
-192
15. 圆(x+2)2+(y﹣2)2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等 于 .
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】计算题;转化思想;直线与圆.
【分析】求出圆的圆心坐标,利用点到直线的距离公式求解即可.
【解答】解:圆(x+2)2+(y﹣2)2=2的圆心(﹣2,2),
圆(x+2)2+(y﹣2)2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离d==.
故答案为:.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,点到直线的距离公式的应用,考查计算能力.
16. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点
,若点满足,则该双曲线的离心率为 .
参考答案:
17. 不等式的解集为 .
参考答案:
得,即,所以不等式的解集为。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知函数=alnx+x2+bx+1在点(1,f(1))处的切线方程为4x?y?12=0。
(1)求函数的解析式;
(2)求的单调区间和极值。
参考答案:
(1) ;(2) 在区间和单调递增,在区间单调递减,.
试题分析:(1)求函数的导数,由列出方程组即可求的值,从而可求出函数解析式;(2)先求函数的定义域,在定义域是解不等式与可得函数的单调区间,由单调性可求出极大值点与极小值点,从而可求极大值与极小值.
试题解析:(1)求导,由题
则,解得
所以
(2)定义域为,
令,解得,
所以在区间和单调递增,在区间单调递减.
故
考点:1.导数的几何意义;2.导数与函数的单调性、极值.
19. 已知椭圆C:经过点,离心率为,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若点P为椭圆C上一动点,点与点P的垂直平分线l交y轴于点B,求的最小值.
参考答案:
(1);(2).
试题分析:(1)由离心率得到,再由椭圆过点E可求得,,故可得椭圆的方程;(2)设点,结合条件可得AP的垂直平分线的方程为:,令,得,再由点P在椭圆上可得得,化简点,求出|OB|后用基本不等式求解即可。
试题解析:(1)因为椭圆的离心率为,
所以,故,
所以椭圆的方程为为,
又点在椭圆上,
所以,
解得,
所以椭圆的方程为.
(2)由题意直线l的斜率存在,设点,
则线段的中点的坐标为,且直线的斜率,
因为直线,
故直线l的斜率为,且过点,
所以直线l的方程为:,
令,得,
则,
由,得,
化简得.
所以.
当且仅当,即时等号成立.
所以的最小值为.
20. 设椭圆,定义椭圆的“相关圆”方程为,若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程和“相关圆”的方程;
(Ⅱ)过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点. 为坐标原点,若,证明原点到直线的距离是定值,并求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,所以,
又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以,
故椭圆的方程为,“相关圆”的方程为 4分
(Ⅱ)设
联立方程组得
,即 6分
=
=
由条件得 8分
所以原点到直线的距离是
由得为定值. 10分
将代入中,由解得
或 13分
21. 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆(a>b>0)的离心率是e,定义直线y=为椭圆的“类准线”,已知椭圆C的“类准线”方程为y=,长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上),过点P作圆O:x2+y2=3的切线l,过点O且垂直于OP的直线l交于点A,问点A是否在椭圆C上?证明你的结论.
参考答案:
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】(1)由题意列关于a,b,c的方程,联立方程组求得a2=4,b2=3,c2=1,则椭圆方程可求;
(2)设P(x0,2)(x0≠0),当x0=时和x0=﹣时,求出A的坐标,代入椭圆方程验证知,A在椭圆上,当x0≠±时,求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点,写出该交点与P点的连线所在直线方程,由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线,从而说明点A在椭圆C上.
【解答】解:(1)由题意得: ==2,2a=4,
又a2=b2+c2,联立以上可得:
a2=4,b2=3,c2=1.
∴椭圆C的方程为+y2=1;
(2)如图,由(1)可知,
椭圆的类准线方程为y=±2,
不妨取y=2,
设P(x0,2)(x0≠0),
则kOP=,
∴过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣x,
当x0=时,过P点的圆的切线方程为x=,
过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣x,
联立,解得:A(,﹣),
代入椭圆方程成立;
同理可得,当x0=﹣时,点A在椭圆上;
当x0≠±时,
联立,
解得A1(,﹣),A2(﹣,),
PA1所在直线方程为(2+x0)x﹣(x0﹣6)y﹣x02﹣12=0.
此时原点O到该直线的距离d==,
∴说明A点在椭圆C上;
同理说明另一种情况的A也在椭圆C上.
综上可得,点A在椭圆C上.
22. 已知等差数列{an}中,a3=9,a8=29.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式;
(Ⅱ)记数列{}的前n项和为Tn,求T100的值.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的性质.
【分析】(Ⅰ)由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差,由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得==,由此利用裂项求和法能求出T100的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵等差数列{an}中,a3=9,a8=29,
∴,
解得a1=1,d=4,
∴an=1+(n﹣1)×4=4n﹣3.
Sn=n+=2n2﹣n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得==,
∴Tn=(1﹣++…+)
=(1﹣),
∴T100==.
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法,考查数列的前100项和的求法,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.
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