2022年安徽省铜陵市铜都双语学校高三数学理模拟试卷含解析

2022年安徽省铜陵市铜都双语学校高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，  那么输出的a值为     A. 4      B. 16        C 256      D.65536 参考答案： C 2. 函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 试题分析：，当时，递减，当时，递增，又是减函数，因此的增区间是，故选D． 考点：函数的单调性． 3. 已知，那么（    ） A．         B．          C．          D． 参考答案： C 略 4. 为了得到函数y＝sin2x＋cos2x的图像，只需把函数y＝sin2x－cos2x的图像     A．向左平移个长度单位           B．向右平移个长度单位     C．向左平移个长度单位           D．向右平移个长度单位 参考答案： C 5. 如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（　　） A． B． C． D．2 参考答案： B 【考点】9V：向量在几何中的应用． 【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值． 【解答】解：，，； ∴= = =； ∴由平面向量基本定理得：； 解得； ∴． 故选B． 【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理． 6. 已知偶函数满足，当时，；若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先根据奇偶性确定周期性，再根据图象确定有3个零点的条件，解得结果. 【详解】为偶函数，所以周期为4，根据偶函数以及当时，作出图象，结合图象要使图象确定有3个零点，需解得 故选A 【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及函数零点，考查综合分析求解能力，属基础题. 7. 圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是    A.等边三角形                     B.等腰直角三角形 C.顶角为30°的等腰三角形         D.其他等腰三角形 参考答案： A 8. 已知i为虚数单位，复数z满足：，则z在复平面内对应点的坐标为（  ） A. (0,1) B.(0,－1) C. (1,0) D. (－1,0) 参考答案： B 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可． 【详解】由，得，∴复数z在复平面内对应的点为（0，﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 9. 定义在（0，）上的函数是它的导函数，且恒有成立，则（　   ） A. B. C.   D. 参考答案： D 略 10. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为(     ) A．{3} B．{1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5} 参考答案： B 【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】集合． 【分析】先观察Venn图，图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解． 【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中． 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUB）∩A， 又全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}， ∵CUB={1，2}， ∴（CUB）∩A={1，2}． 则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}． 故选B． 【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知非零向量，，满足||=||=||，＜＞=，则的最大值为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】设， =，则=．非零向量，，满足||=||=||，可得△OAB是等边三角形．设=，则=， =．由＜＞=，可得点C在△ABC的外接圆上，则当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值． 【解答】解：设， =，则=． ∵非零向量，，满足||=||=||， ∴△OAB是等边三角形． 设=，则=， =． ∵＜＞=， ∴点C在△ABC的外接圆上， 则当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值==． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量的三角形法则、等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12. 双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______． 参考答案： 由双曲线的方程知，所以双曲线的渐近线方程为． 13. 设则从小到大的关系为___________ 参考答案： 14. 二项式展开式中含x2项的系数是        。 参考答案： -192 15. 圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等 于　    　． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；直线与圆． 【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心（﹣2，2）， 圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离d==． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． 16. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点 ，若点满足，则该双曲线的离心率为            ． 参考答案： 17. 不等式的解集为              . 参考答案： 得，即，所以不等式的解集为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知函数=alnx+x2+bx+1在点(1,f(1))处的切线方程为4x?y?12=0。 （1）求函数的解析式； （2）求的单调区间和极值。 参考答案： (1) ；(2) 在区间和单调递增，在区间单调递减,. 试题分析：(1)求函数的导数，由列出方程组即可求的值，从而可求出函数解析式；（2）先求函数的定义域，在定义域是解不等式与可得函数的单调区间，由单调性可求出极大值点与极小值点，从而可求极大值与极小值. 试题解析：（1）求导，由题 则，解得 所以 （2）定义域为， 令，解得， 所以在区间和单调递增，在区间单调递减. 故 考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值. 19. 已知椭圆C：经过点，离心率为，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程. （2）若点P为椭圆C上一动点，点与点P的垂直平分线l交y轴于点B，求的最小值. 参考答案： （1）；（2）. 试题分析：（1）由离心率得到，再由椭圆过点E可求得，，故可得椭圆的方程；（2）设点，结合条件可得AP的垂直平分线的方程为：，令，得，再由点P在椭圆上可得得，化简点，求出|OB|后用基本不等式求解即可。 试题解析：（1）因为椭圆的离心率为， 所以，故， 所以椭圆的方程为为， 又点在椭圆上， 所以， 解得， 所以椭圆的方程为．   （2）由题意直线l的斜率存在，设点， 则线段的中点的坐标为，且直线的斜率，   因为直线， 故直线l的斜率为，且过点， 所以直线l的方程为：，      令，得， 则， 由，得， 化简得．      所以． 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为． 20. 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. （Ⅰ）求椭圆的方程和“相关圆”的方程； （Ⅱ）过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点. 为坐标原点，若,证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，所以， 又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以， 故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为     4分 （Ⅱ）设 联立方程组得 ，即   6分 = = 由条件得     8分 所以原点到直线的距离是 由得为定值.     10分 将代入中，由解得 或      13分 21. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求； （2）设P（x0，2）（x0≠0），当x0=时和x0=﹣时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x0≠±时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上． 【解答】解：（1）由题意得： ==2，2a=4， 又a2=b2+c2，联立以上可得： a2=4，b2=3，c2=1． ∴椭圆C的方程为+y2=1； （2）如图，由（1）可知， 椭圆的类准线方程为y=±2， 不妨取y=2， 设P（x0，2）（x0≠0）， 则kOP=， ∴过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣x， 当x0=时，过P点的圆的切线方程为x=， 过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣x， 联立，解得：A（，﹣）， 代入椭圆方程成立； 同理可得，当x0=﹣时，点A在椭圆上； 当x0≠±时， 联立， 解得A1（，﹣），A2（﹣，）， PA1所在直线方程为（2+x0）x﹣（x0﹣6）y﹣x02﹣12=0． 此时原点O到该直线的距离d==， ∴说明A点在椭圆C上； 同理说明另一种情况的A也在椭圆C上． 综上可得，点A在椭圆C上． 22. 已知等差数列{an}中，a3=9，a8=29． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式； （Ⅱ）记数列{}的前n项和为Tn，求T100的值． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【分析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式． （Ⅱ）由（Ⅰ）得==，由此利用裂项求和法能求出T100的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}中，a3=9，a8=29， ∴， 解得a1=1，d=4， ∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3． Sn=n+=2n2﹣n． （Ⅱ）由（Ⅰ）得==， ∴Tn=（1﹣++…+） =（1﹣）， ∴T100==． 【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．