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2022年广东省中山市桂山中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2x的图象(部分)如图:
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A.①④③② B.③④②① C.④①②③ D.①④②③
参考答案:
D
【考点】3O:函数的图象.
【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号,判断函数的图象特征,即可得到.
【解答】解:根据①y=x?sinx为偶函数,它的图象关于y轴对称,故第一个图象即是;
根据②y=x?cosx为奇函数,它的图象关于原点对称,它在(0,)上的值为正数,
在(,π)上的值为负数,故第三个图象满足;
根据③y=x?|cosx|为奇函数,当x>0时,f(x)≥0,故第四个图象满足;
④y=x?2x,为非奇非偶函数,故它的图象没有对称性,故第2个图象满足,
故选:D.
2. 若集合
A B C D
参考答案:
B
略
3. 设非空集合同时满足下列两个条件:
①;
②若,则,.则下列结论正确的是
A. 若为奇数,则集合的个数为; B. 若为奇数,则集合的个数为.
C. 若为偶数,则集合的个数为; D. 若为偶数,则集合的个数为
参考答案:
D
考点:集合的基本性质.
4. 若,是任意实数,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 已知集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
6. 执行右边的程序框图,若,则输出的S( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知函数.若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为
(A)3 (B)2 (C)1 (D)
参考答案:
A
略
9. 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
模拟程序图框的运行过程,得出当时,不再运行循环体,直接输出S值.
【详解】模拟程序图框的运行过程,得
S=0,n=2,n<8满足条件,进入循环:
S=满足条件,进入循环:
进入循环:
不满足判断框的条件,进而输出s值,
该程序运行后输出的是计算:.
故选:D.
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题目.根据程序框图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.
10. 为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩,决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析,这个问题中样本容量是( )
A.8 B.400
C.96 D.96名学生的成绩
参考答案:
C
【考点】简单随机抽样.
【分析】本题要求我们正确理解抽样过程中的几个概念,常见的有四个,400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体,每班12 名学生的数学成绩是样本,400是总体个数,96是样本容量,选出答案.
【解答】解:在本题所叙述的问题中,
400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体,
每班12 名学生的数学成绩是样本,
400是总体个数,
96是样本容量,
故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线是曲线的切线,则_____________.
参考答案:
略
12. 设复数,,若为纯虚数,则 .
参考答案:
2
13. 已知平面区域Ω=,直线l:和曲线C:有两个不同的交点,直线l与曲线C围城的平面区域为M,向区域Ω内随机投一点A,点A落在区域M内的概率为,若,则实数m的取值范围是__________。
参考答案:
略
14. 设,是实数,若(是虚数单位),则的值是 .
参考答案:
15. 已知函数.
①当时,若函数f(x)有且只有一个极值点,见实数a 的取值范围是______;
②若函数f(x)的最大值为1,则a =______.
参考答案:
(-∞,1) ±1
【分析】
①首先求出当时的极值点,根据题意即可得到的取值范围.
②分别讨论当,和时,求出函数的最大值,比较即可求出的值.
【详解】①当时,.
,令,解得.
因为函数在有且只有一个极值点,
所以.
②当时,,此时,舍去.
当时,
,.
,..
所以,因为,所以.
当时,
,.,
令,解得.
,,为增函数,
,,为减函数.
.
,..
当时,即,,解得.
当当时,即,,解得,舍去.
综上所述:.
故答案为:,
【点睛】本题主语考查利用导数求含参函数的极值点和最值,分类讨论是解题的关键,属于难题.
16. 下列结论中是真命题的是__________(填序号).
①f(x)=ax2+bx+c在[0,+∞)上是增函数的一个充分条件是-b2a<0;
②已知甲:x+y≠3,乙:x≠1或y≠2,则甲是乙的充分不必要条件;
③“ ,使>3”的否定是“ ,使 3”
参考答案:
②③
略
17. 已知函数,点O为坐标原点,点,向量是向量与的夹角,则的值为__________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
如图,已知四棱锥中,平面,底面是直角梯形,,是线段上一点,平面。
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)若,,,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案:
解:(1)
…………………………7分
(2)如图建立空间直角坐标系,可求出AD=4。
令平面PCD的法向量为
令则,
……………………14分
19. 设关于的不等式的解集为,不等式的解集为.
(1)当时,求集合;
(2)若,求实数的取值范围.
参考答案:
【知识点】一元二次不等式的解法;集合关系中的参数取值问题.A1 E3
【答案解析】(1) (2)
解析:(1)当时,解得0<x<5.
即,
…4分
(2) ①当时,因为,所以.
因为,所以,解得;…6分
②若时,,显然有,所以成立;…8分
③若时,因为,所以.
又,因为,所以,解得.…10分
综上所述,的取值范围是.…12分
【思路点拨】(1)当时,由已知解得集合M、N,再求并集即可.
(2)对字母进行分类讨论:①,②,③,分别表示出集合M,又,利用,即可求得的取值范围.
20. 已知递增的等比数列{an}的前n项和Sn满足:S4=S1+28,且a3+2是a2和a4的等差中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=anlogan,Tn=b1+b2+…+bn,求使Tn+n2n+1=30成立的正整数n的值.
参考答案:
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】(I)由题意,得,由此能求出数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)bn=anlogan,Tn=b1+b2+…+bn=﹣(1×2+2×22+…+n×2n),进而可得Tn+n2n+1=30成立的正整数n的值.
【解答】解:(I)设等比数列{an}的公比为q,
∵S4=S1+28,且a1+2是a2和a4的等差中项.
∴,
解得,
即数列{an}的通项公式为an=22n﹣1=2n…
(Ⅱ)bn=anlogan,…
Tn=b1+b2+…+bn=﹣(1×2+2×22+…+n×2n)①
则2Tn=﹣(1×22+2×23+…+n×2n+1)②
②﹣①,得Tn=(2+22+…+2n)﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1
即数列{bn}的前项和Tn=2n+1﹣2﹣n2n+1,
则Tn+n2n+1=2n+1﹣2=30,
即2n+1=32,
解得:n=4
【点评】本题考查数列的性质的应用,解题时要认真审题,注意数列与不等式的综合运用,合理地进行等价转化.
21. (本题满分12分)四棱锥底面是平行四边形,面面,
,,分别为的中点.
(1)求证:
(2)求证:
参考答案:
(1)-----2分
,所以 ---4分
------------------------6分
(2) ----------------①
所以 -------8分
-----------------------②--------------------------------------------------10分
由 ①②可知,
-----------------------------------------------12分
22. 已知函数在x=1处有极小值—1.
(1)求的值; (2)求出函数f(x)的单调区间.
参考答案:
(1)a=1,b=-1;(2) 单调递增区间为,,单调递增区间为. 解析:(1)
由题易知
(2)
由可得或;由可得
所以函数的单调递增区间为,
函数的单调递增区间为---------------12分
略
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