2022年广东省中山市桂山中学高三数学理模拟试题含解析

2022年广东省中山市桂山中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 现有四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x?|cosx|；④y=x?2x的图象（部分）如图： 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（　　） A．①④③② B．③④②① C．④①②③ D．①④②③ 参考答案： D 【考点】3O：函数的图象． 【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到． 【解答】解：根据①y=x?sinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是； 根据②y=x?cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数， 在（，π）上的值为负数，故第三个图象满足； 根据③y=x?|cosx|为奇函数，当x＞0时，f（x）≥0，故第四个图象满足； ④y=x?2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足， 故选：D． 2. 若集合 A   B C  D 参考答案： B 略 3. 设非空集合同时满足下列两个条件： ①； ②若，则，.则下列结论正确的是 A. 若为奇数，则集合的个数为；  B. 若为奇数，则集合的个数为. C. 若为偶数，则集合的个数为；    D. 若为偶数，则集合的个数为 参考答案： D 考点：集合的基本性质. 4. 若，是任意实数，且，则（   ） A． B．        C． D． 参考答案： D 略 5. 已知集合,,则(   ) (A)          (B)        (C)         (D) 参考答案： C 略 6. 执行右边的程序框图，若，则输出的S（      ）                A．    B．   C．    D． 参考答案： D 7. 已知函数.若，则的取值范围是(    ) A．        B．         C．     D． 参考答案： D 8. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 （A）3　　　　　　　　（B）2　　　　 　　　　（C）1　　　 　　　（D） 参考答案： A 略 9. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值． 【详解】模拟程序图框的运行过程，得 S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环： S=满足条件，进入循环： 进入循环： 不满足判断框的条件，进而输出s值， 该程序运行后输出的是计算：． 故选：D． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 10. 为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（　　） A．8 B．400 C．96 D．96名学生的成绩 参考答案： C 【考点】简单随机抽样． 【分析】本题要求我们正确理解抽样过程中的几个概念，常见的有四个，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12 名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，选出答案． 【解答】解：在本题所叙述的问题中， 400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体， 每班12 名学生的数学成绩是样本， 400是总体个数， 96是样本容量， 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知直线是曲线的切线，则_____________. 参考答案： 略 12. 设复数，，若为纯虚数，则       . 参考答案： 2 13. 已知平面区域Ω=，直线l:和曲线C:有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围是__________。 参考答案： 略 14. 设，是实数，若（是虚数单位），则的值是      ． 参考答案： 15. 已知函数. ①当时，若函数f(x)有且只有一个极值点，见实数a 的取值范围是______； ②若函数f(x)的最大值为1，则a =______. 参考答案： (－∞,1)    ±1 【分析】 ①首先求出当时的极值点，根据题意即可得到的取值范围. ②分别讨论当，和时，求出函数的最大值，比较即可求出的值. 【详解】①当时，. ，令，解得. 因为函数在有且只有一个极值点， 所以. ②当时，，此时，舍去. 当时， ，. ，.. 所以，因为，所以. 当时， ，.， 令，解得. ，，为增函数， ，，为减函数. . ，.. 当时，即，，解得. 当当时，即，，解得，舍去. 综上所述：. 故答案为：， 【点睛】本题主语考查利用导数求含参函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题. 16. 下列结论中是真命题的是__________(填序号)． ①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－b2a＜0； ②已知甲：x＋y≠3，乙：x≠1或y≠2，则甲是乙的充分不必要条件； ③“ ，使>3”的否定是“ ，使 3” 参考答案： ②③ 略 17. 已知函数，点O为坐标原点，点，向量是向量与的夹角，则的值为__________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分14分) 如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，,是线段上一点，平面。 （Ⅰ）求证：平面 （Ⅱ）若，,,求直线与平面所成角的正弦值． 参考答案： 解：（1）                                                …………………………7分 （2）如图建立空间直角坐标系，可求出AD=4。 令平面PCD的法向量为 令则，                         ……………………14分 19. 设关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 参考答案： 【知识点】一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．A1 E3 【答案解析】（1）  （2） 解析：（1）当时，解得0＜x＜5． 即， …4分 （2） ①当时，因为，所以． 因为，所以，解得；…6分 ②若时，，显然有，所以成立；…8分 ③若时，因为，所以． 又，因为，所以，解得．…10分 综上所述，的取值范围是．…12分 【思路点拨】（1）当时，由已知解得集合M、N，再求并集即可. （2）对字母进行分类讨论：①，②，③，分别表示出集合M，又，利用，即可求得的取值范围． 20. 已知递增的等比数列{an}的前n项和Sn满足：S4=S1+28，且a3+2是a2和a4的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=anlogan，Tn=b1+b2+…+bn，求使Tn+n2n+1=30成立的正整数n的值． 参考答案： 【考点】等差数列与等比数列的综合． 【分析】（I）由题意，得，由此能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）bn=anlogan，Tn=b1+b2+…+bn=﹣（1×2+2×22+…+n×2n），进而可得Tn+n2n+1=30成立的正整数n的值． 【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q， ∵S4=S1+28，且a1+2是a2和a4的等差中项． ∴， 解得， 即数列{an}的通项公式为an=22n﹣1=2n… （Ⅱ）bn=anlogan，… Tn=b1+b2+…+bn=﹣（1×2+2×22+…+n×2n）① 则2Tn=﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1）② ②﹣①，得Tn=（2+22+…+2n）﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1 即数列{bn}的前项和Tn=2n+1﹣2﹣n2n+1， 则Tn+n2n+1=2n+1﹣2=30， 即2n+1=32， 解得：n=4 【点评】本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化． 21. （本题满分12分）四棱锥底面是平行四边形，面面, ,,分别为的中点. （1）求证： （2）求证： 参考答案： （1）-----2分 ,所以 ---4分 ------------------------6分 （2） ----------------①   所以 -------8分 -----------------------②--------------------------------------------------10分 由 ①②可知， -----------------------------------------------12分 22. 已知函数在x=1处有极小值—1．     (1)求的值；      (2)求出函数f(x)的单调区间.   参考答案： （1）a=1,b=-1;(2) 单调递增区间为，,单调递增区间为.  解析：（1） 由题易知      （2） 由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为， 函数的单调递增区间为---------------12分   略