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2022年山东省泰安市肥城矿区中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数x,y满足条件,则z = x + 3y的最小值是( )
A. B. C.12 D.-12
参考答案:
B
略
2. 下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象,其中一定错误的是( )
参考答案:
C
3. 已知椭圆:,过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为( )
A.9x﹣y﹣4=0 B.9x+y﹣5=0 C.2x+y﹣2=0 D.2x﹣y+2=0
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】首先设出A、B的坐标利用中点坐标建立方程组,求出直线的斜率,进一步利用点斜式求得直线方程.
【解答】解:已知椭圆:,过点的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2)
则:①②
由①②联立成方程组①﹣②得: =0③
∵是A、B的中点
则:x1+x2=1 y1+y2=1
代入③得:k==﹣9
则直线AB的方程为:y﹣=﹣9(x﹣)
整理得:9x+y﹣5=0
故选:B
4. 下列说法中正确的是
A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
参考答案:
D
5. 在等比数列{an}中,若则前9项之和 等于( )
A.50 B.70 C.80 D.90
参考答案:
B
6. 椭圆=1上存在n个不同的点P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为F.数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,则n的最大值是( )
A.16 B.15 C.14 D.13
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(|PnF|)min≥|a﹣c|=,(|PnF|)max≤a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n﹣1)d.再由数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,可求出n的最大值.
【解答】解:∵(|PnF|)min≥|a﹣c|=,(|PnF|)max≤a+c=3,||PnF|=|P1F|+(n﹣1)d
∵数列{|PnF|}是公差d大于的等差数列,
∴d=>,解得n<10+1,
则n的最大值为15
故选:B
7. 抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
8. 若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b)则的值为
A. f′(x) B.2 f′(x0) C.-2 f′(x0) D.0
参考答案:
B
9. 已知命题 “”,则为
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. k为任意实数,直线(k+1)x-ky-1=0被圆截得的弦长为( )
A.4 B.8 C.2 D.与k有关的值
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的值等于__________;
参考答案:
【知识点】诱导公式.
【答案解析】解析 :解:由诱导公式可得:,故答案为:.
【思路点拨】直接使用诱导公式化简在求值即可.
12. 如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6,O′C′=2,则原图形OABC的面积为 .
参考答案:
24
【考点】LB:平面图形的直观图.
【分析】根据所给的数据做出直观图形的面积,根据直观图的面积:原图的面积=,得到原图形的面积是12÷,得到结果.
【解答】解:∵矩形O'A'B'C'是一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,
∴直观图的面积是6×2=12
∵直观图的面积:原图的面积=1:2,
∴原图形的面积是12÷=24.
故答案为24.
13. 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,,则λ= .
参考答案:
2
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】计算题;平面向量及应用.
【分析】依题意,+=,而=2,从而可得答案.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,
∴+=,
又O为AC的中点,
∴=2,
∴+=2,
∵+=λ,
∴λ=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.
14. 如果复数(其中i是虚数单位)是实数,则实数m=______.
参考答案:
【分析】
将复数转化为的形式,然后再根据复数为实数这一条件,解决的值。
【详解】解:
,
因为复数为实数,
所以,
故。
【点睛】本题考查了复数乘法的运算、定义,解决本题的关键是要将复数转化为的标准形式,进而根据题意进行解题。
15. 一枚骰子(形状为正方体,六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的玩具)先后抛掷两次,骰子向上的点数依次为.则的概率为 ▲ .
参考答案:
略
16. 有下列四个命题:
①、若,则
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题;
③、命题“若,则有实根”的逆否命题;
④、命题“若,则”的逆否命题。
其中是真命题的是 .
参考答案:
1,3
略
17. 已知x、y满足约束条件,则z=x+3y的最小值为 .
参考答案:
2
【考点】简单线性规划.
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移,观察直线在y轴上的截距变化,可得当x=y=时z取得最小值2.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,
其中A(0,1),B(2,2),C(,).
设z=F(x,y)=x+3y,
将直线l:z=x+3y进行平移,观察直线在y轴上的截距变化,
可得当l经过点C时,目标函数z达到最小值.
∴z最小值=F(,)=2.
故答案为:2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足-=+().
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列{前项和为,问>的最小正整数是多少?
参考答案:
解:(1),
,,
.
又数列成等比数列, ,所以 ;又公比,所以 ;
又,, ;
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列,
当, ;
();
(2)
由得,满足的最小正整数为112.
19. (本小题满分12分)
求证:.
参考答案:
证明:由于,,
所以只需证明.
展开得,即.
所以只需证.
因为显然成立,
所以.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
20. (本小题15分)
已知:直线,圆
(1)求圆的方程;
(2)若直线与圆相切,求的值;[
(3)若直线与圆相交于两点,且弦的长为,求的值。
参考答案:
(1)可设圆的方程为 -----(2分)
其中为圆的半径,由题意可列方程:
,解得 -----(2分)
所以圆的方程为 ----(2分)
(2)因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径。
于是 -----(3分)
(3)因为弦的长为,由,
可得弦心距 从而解得, ------(3分)
根据点到直线的距离
数据代入可得:
--------(3分)
21. 如图用茎叶图记录了同班的甲、乙两名学生4次数学考试成绩,其中甲的一次成绩模糊不清,用x标记.
(1)若甲、乙这4次的平均成绩相同,确定甲、乙中谁的成绩更稳定,并说明理由;
(2)若甲这4次获得的最高分正好是班上第一名(满分100,且分数为整数),且班上这次数学的第二名是91分,求甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】(1)由甲、乙这4次的平均成绩相同,先求出x=3和平均数,然后求出甲、乙的方差,由此得到乙的成绩更稳定.
(2)由已知得x的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,再由甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分,得到x的可能取值为4,5,6,7,8,9,由此能求出甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分的概率.
【解答】解:(1)∵甲、乙这4次的平均成绩相同,
∴90+x+81+82+84=90+80+85+85,
解得x=3,
∴平均数为=,
∴甲的方差= [(93﹣85)2+(81﹣85)2+(82﹣85)2+(84﹣85)2]=22.5;
乙的方差= [(90﹣85)2+(80﹣85)2+(85﹣85)2+(85﹣85)2]=12.5.
∵甲、乙的平均成绩相同,乙的方差小于甲的方差,
∴乙的成绩更稳定.
(2)由(1)知乙的平均分是85分,x=3时,甲的平均分是85,
∵甲这4次获得的最高分正好是班上第一名(满分100,且分数为整数),且班上这次数学的第二名是91分,
∴x的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,共8个,
∵甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分,
∴x的可能取值为4,5,6,7,8,9,共6个,
∴甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分的概率:
p=.
【点评】本题考查甲、乙两人谁的成绩更稳定的求法,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图性质的合理运用.
22. 已知{an}是首项为2的等比数列,且.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)设,是否存在正整数k,使得对于恒成立.若存在,求出正整数k的最小值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1),(2)1
【分析】
(1)由,得到等比数列的公比,即可得到的通项公式。
(2)把的通项公式代入中,即可得到,然后利用裂项相消求出,即可求得正整数的最小值。
【详解】是首项为2的等比数列,,
,化简:,解得或(舍去),
,
(2)由,可得
设
,
对于恒成立,即 对于恒成立,
令 ,则为单调递增数列,则,时,,
要使对于恒成立,则,
存在正整数,使得对于恒成立,正整数的最小值为1.
【点睛】本题考查数列及等比数列有关知识的综合应用。
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