2022年江苏省无锡市南京师范大学实验中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年江苏省无锡市南京师范大学实验中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=，若f（a）=1，则a的值是（　　） A．1或2 B．2 C．1 D．1或﹣2 参考答案： B 【考点】函数的值． 【分析】由已知得当a≥2时，f（a）==1；当a＜2时，f（a）=3a﹣2=1．由此能求出a的值． 【解答】解：∵函数f（x）=，f（a）=1， ∴当a≥2时，f（a）==1，解得a=2或a=﹣2（舍）； 当a＜2时，f（a）=3a﹣2=1，解得a=2（舍）． 综上，a的值是2． 故选：B． 2. 已知数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2017=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】数列递推式． 【分析】数列{an}满足an+1=，a1=，可得an+3=an．即可得出． 【解答】解：∵数列{an}满足an+1=，a1=， ∴a2=2a1﹣1=，a3=2a2﹣1=，a4=2a3=，…， ∴an+3=an． 则a2017=a672×3+1=． 故选：D． 【点评】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（     ） A.           B.4           C.         D.6  参考答案： C 4. 公差小于0的等差数列{an}中，且(a3)2=(a9)2，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的n的值是 (A) 6          (B) 7            (C) 5或6         (D)6或7 参考答案： C 略 5. 设a、b、c是空间中的三条直线，给出以下三个命题： ①若，，则； ②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面； ③若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 参考答案： B 【分析】 根据两两垂直可能存在的位置关系可判断①；在正方体中举出特例可判断②；根据空间平行线的传递性可判断③； 【详解】与可能垂直，还可能平行或异面，故①错误； 在正方体中，与共面，与共面， 但与不共面，故②错误； 由空间平行线的传递性可知③正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力，属于基础题. 6. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为      (     ) A． B． C．    D． 参考答案： C 7. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. 参考答案： A 设，则. ∴， ∴所求的概率为 故选A. 8. 奇函数上为增函数,且,则不等式的解集为(     ). A B. C D 参考答案： C 略 9. 将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】条件概率与独立事件． 【分析】本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果． 【解答】解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B）， P（AB）== P（B）=1﹣P（）=1﹣=1﹣= ∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）== 故选A． 【点评】本题考查条件概率，在这个条件概率的计算过程中，可以用两种不同的表示形式来求解，一是用概率之比得到条件概率，一是用试验发生包含的事件数之比来得到结果． 10. 一物体运动方程为（其中单位是米，单位是秒），那么物体在秒末的瞬时速度是 A．米/秒         B．米/秒        C．米/秒         D．米/秒 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设二次函数在[3,4]上至少有一个零点，则的最小值为                . 参考答案： 0.01 12. 展开式中二项式系数最大的项为          .(求出具体的项) 参考答案： 略 13. 函数在处的切线方程为______ 参考答案： （或） 【分析】 求出函数的导数，计算，的值，从而求出切线方程即可 【详解】解：定义域为，，又， 函数在点，（e）处的切线方程为：，即， . 故答案为:（或） 【点睛】本题考查了切线方程问题，属于基础题． 14. 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 参考答案： 由体积相等得： 考点：圆柱及圆锥体积 15. 已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________. 参考答案： 【分析】 设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程。 【详解】设切点坐标为，，，， 则曲线在点处的切线方程为， 由于该直线过原点，则，得， 因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为：。 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是： （1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程； （2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标； （3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程。 16. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______. 参考答案： 2 略 17. 在同一平面直角坐标系中，直线x﹣2y=2变成直线2x′﹣y′=4的伸缩变换是　   　． 参考答案： 【考点】O7：伸缩变换． 【分析】将直线x﹣2y=2变成直线2x′﹣y′=4即直线x′﹣y′=2，横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍，故有是． 【解答】解：直线2x′﹣y′=4即直线x′﹣y′=2． 将直线x﹣2y=2变成直线2x′﹣y′=4即直线x′﹣y′=2， 故变换时横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍， 即有伸缩变换是． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程． （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用要根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出m的值． 【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）， ∴由题意得， 解得a=2，b=2， ∴椭圆C的方程为． （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）， 由，消去y得3x2+4mx+2m2﹣8=0， △=96﹣8m2＞0， ∴﹣2＜m＜2， ∵x0==﹣， ∴y0=x0+m=， ∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上， ∴（﹣）2+（）2=1， ∴m=±． 19. 已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且a3+S5，a4+S4，a5+S3成等差数列． （1）求等比数列{an}的通项公式； （2）对n∈N+，在an与an+1之间插入3n个数，使这个3n+2个数成等差数列，记插入的这个3n个数的和为bn，且cn=．求数列{cn}的前n项和Tn． 　 参考答案： 解：（1）因为成等差数列， 所以，…………………………………………2分 即，所以，因为，所以，……………4分 所以等比数列的通项公式为；………… 6分 （2），…………………………………8分 ……… ………      …………10分 -得 ……………………12分 略 20. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，又点 (1)若且，求向量； (2)若向量与向量共线，当时，且取最大值为4时，求 参考答案：         又,得            或    与向量共线, ,当时，取最大值为  由，得，此时 21. 已知，. （1）若，，求的值域。 （2）有解，求的取值范围 参考答案： 略 22. （本小题满分14分）如图，曲线是以原点为中心,为焦点的椭圆的一部分.曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线的一部分,,是曲线和的交点且为钝角，若， . （1）求曲线和的方程； （2）设点，是曲线所在抛物线上的两点（如图）.设直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.   参考答案： 解: (1）设,,,曲线所在椭圆的长轴长为， 则………………2分 又由已知及圆锥曲线的定义得： …………4分 得：，又∵为钝角，∴ ，故……5分 即曲线的方程为，曲线的方程为…7分 （2）设直线的方程为：,  由得即,……9分 同理得：……………………10分        ∴直线的方程为： 即，…………13分 当时，恒有，即直线过定点…14分