2022年广东省深圳市大学附属中学高二数学文联考试题含解析

2022年广东省深圳市大学附属中学高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为 A. B. C. D. 参考答案： A 分析：可从事件的反面考虑，即事件A不发生的概率为，由此可易得结论． 详解：设事件A在一次试验中发生概率为，则，解得． 故选A． 点睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率时，通常从事件的反而入手可能较简单，如本题中“至少发生1次”的反面为“一次都不发生”，若本题求“至多发生3次”的概率，其反面是“至少发生4次”即“全发生”． 2. 已知条件p：<2，条件q：-5x-6<0，则p是q的 （　　） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 略 3. 已知正数的最小值为 A、 B、        C、 D、 参考答案： C 4. 下列四个结论： ⑴两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（   ） A、0             B、1              C、2              D、3 参考答案： A 5. 用数学归纳法证明：“”.从“到”左端需增乘的代数式为（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 分别写出当和当时，左端的式子，两式相除即可得出结果. 【详解】当时，左端； 当时，左端， 所以左端增乘的代数式. 故选B 6. 函数f(x)＝x3－3x－3一定有零点的区间是 A．(2，3)                    B．(1，2)                    C．(0，1)                   D．(－1，0) 参考答案： A 7. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　） A． B．3 C． D． 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可． 【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则， 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|， 则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和 ． 故选A． 【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题． 8. 若则（     ） A.          B.           C.           D. 参考答案： D 9. 下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到下图所示几何体的是（    ） A．         B．       C．       D． 参考答案： B A是一个圆锥以及一个圆柱; C是两个圆锥; D一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.   10. 在数学归纳法的递推性证明中由假设时成立,推导时成立时 增加的项数是（   ）                        A.1         B.       C.         D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 以下5个命题： （1）设，，是空间的三条直线，若，，则； （2）设，是两条直线，是平面，若，，则； （3）设是直线，，是两个平面，若，，则； （4）设，是两个平面，是直线，若，，则； （5）设，，是三个平面，若，，则. 参考答案： （2），（4） 略 12. 若x，y满足约束条件，则z=3x+3y的最大值为　　． 参考答案： 6 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数z=3x+3y为， 由图可知，当直线与线段BC所在直线重合时，直线在y轴上的截距最大， 此时z有最大值为3×0+3×2=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 13. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　   　种（用数字作答）． 参考答案： 390 【考点】D5：组合及组合数公式． 【分析】由题意选出 的颜色只能是2种或3种，然后分别求出涂色方法数即可． 【解答】解：用2色涂格子有C62×2=30种方法， 用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种，第三空分两张情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有3×2（1×1+1×2）=18种， 所以涂色方法18×C63=360种方法， 故总共有390种方法． 故答案为：390 14. 若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为　　． 参考答案： 3+2 【考点】基本不等式． 【分析】由正弦函数的性质可求y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，代入直线方程可求a+b=1，而+=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值 【解答】解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1） ∴a+b=1 则+=（）（a+b）=3+=3+2 最小值为 故答案为：3+2 15. 函数的定义域是 ______. 参考答案： R 16. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是       ． 参考答案： 考点：类比推理． 专题：计算题；推理和证明． 分析：从平面图形到空间图形，同时模型不变． 解答： 解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：． 故答案为：． 点评：本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌握好类比推理的定义． 17. 若函数f（x）=x2n﹣1﹣x2n+x2n+1﹣…+（﹣1）r?x2n﹣1+r+…+（﹣1）n?x3n﹣1，其中n∈N*，则f′（1）= ． 参考答案： 0 【考点】二项式定理的应用． 【分析】先化简函数f（x）的解析式，再求出f′（x），从而求得f′（1）的值． 【解答】解：f（x）=x2n﹣1[Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣+Cnr（﹣1）rxr+Cnnxn]=x2n﹣1（1﹣x）n， f′（x）=（2n﹣1）x2n﹣2（1﹣x）n﹣x2n﹣1?n（1﹣x）n﹣1=x2n﹣2（1﹣x）n﹣1[2n﹣1﹣（3n﹣1）x]． ∴f′（1）=0， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某班有男生33人，女生11人，现按照分层抽样的方法建立一个4人的课外兴趣小组． （Ⅰ）求课外兴趣小组中男、女同学的人数； （Ⅱ）老师决定从这个课外兴趣小组中选出2名同学做某项实验，选取方法是先从小组里选出1名同学，该同学做完实验后，再从小组里剩下的同学中选出1名同学做实验，求选出的2名同学中有女同学的概率； （Ⅲ）老师要求每位同学重复5次实验，实验结束后，第一位同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二位同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由． 参考答案： 【考点】分层抽样方法． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）由分层抽样能求出男生、女生分别应抽取多少人． （Ⅱ）选出的2名同学中有女同学的情况包含两种情况：第1次选出女生第2次选出男生，第一次选出男生第二次选出女生，由此能求出结果． （Ⅲ）分别求出第一位同学所得数据的平均数、方差和第二位同学所得数据的平均数、方差，由此能判断第二位同学的实验更稳定． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵某班有男生33人，女生11人，现按照分层抽样的方法建立一个4人的课外兴趣小组． ∴由分层抽样得：男生应抽取=3人；女生应抽取=1人． （Ⅱ）选出的2名同学中有女同学的概率： p==0.5． （Ⅲ）第一位同学所得数据的平均数： =（68+70+71+72+74）=71， 第一位同学所得数据的方差： = [（68﹣71）2+（70﹣71）2+（71﹣71）2+（71﹣71）2+（74﹣71）2]=4， 第二位同学所得数据的平均数： =（69+70+70+72+74）=71， 第fg 位同学所得数据的方差： = [（69﹣71）2+（70﹣71）2+（70﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=3.2， ∵，＜，∴第二位同学的实验更稳定． 【点评】本题考查分层抽样的性质，考查概率的求法，考查平均数及方法的应用，是中档题，解题时要注意互斥事件加法公式的合理运用． 19. （本题满分14分）若是公差不为的等差数列的前项和，且,,成等比数列， （1）求等比数列,,的公比； （2）若，求的通项公式； （3）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数 参考答案： （1）∵数列{an}为等差数列，∴， ∵S1，S2，S4成等比数列， ∴ S1·S4 =S22                            ………………2分  ∴ ，∴ ∵公差d不等于0，∴ 所以 ………………4分 （2）∵S2 =4，∴，又，∴， ∴  ………………8分 （3）∵ ∴…        ………………12分 要使对所有n∈N*恒成立， ∴，，∵m∈N*， ∴m的最小值为30                 ………………14分 20. 已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)若AOB为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围； (Ⅲ)求证直线MA、MB与轴围成的三角形总是等腰三角形。 参考答案： （Ⅰ）设椭圆方程，依题意可得                      ………………………2分 可得   所以椭圆方程为………………………4分 （Ⅱ）设方程为：  与椭圆方程联立得：   由韦达定理得：         ………………………6分 设，因为为钝角 所以             = =   ………………………7分 又平行OM   ………………………8分 (Ⅲ)依题即证………………………9分 而…………………10分 将，代入上式，得 =0