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2022年广东省佛山市叠滘中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)(2015?钦州模拟)一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球,现从袋中任意取出一个球,取出后不放回,然后再从袋中任取一个球,则第一次取得号码为奇数,第二次取得号码为偶数球的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【专题】: 概率与统计.
【分析】: 先求出第一次取得号码为奇数的概率,再求出第二次取得号码为偶数球的概率,根据概率公式计算即可.
解:1、2、3、4、5大小相同的5个小球,从袋中任取一个球,则第一次取得号码为奇数的概率为,
第二次取得号码为偶数球的概率为=,
故第一次取得号码为奇数,第二次取得号码为偶数球的概率为=,
故选:D.
【点评】: 本题考查了条件概率的求法,属于基础题.
2. 一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于 ( )
参考答案:
B
3. 若则的大小关系
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
4. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为( )
A. B.-1
C. D.1
参考答案:
B
略
5. 从中选一个数字,从中选两个数字,组成无重复数字的三位数.,其中奇数的个数为
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
参考答案:
B
略
6. 下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
7. 如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,AB=4,AA1=6,若E,F分别是棱BB1,CC1上的点,且BE=B1E,C1F=CC1,则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】以C为原点,CA为x轴,在平面ABC中过作AC的垂线为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值.
【解答】解以C为原点,CA为x轴,在平面ABC中过作AC的垂线为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,AB=4,AA1=6,
E,F分别是棱BB1,CC1上的点,且BE=B1E,C1F=CC1,
∴A1(4,0,6),E(2,2,3),F(0,0,4),A(4,0,0),
=(﹣2,2,﹣3),=(﹣4,0,4),
设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ,
则cosθ===.
∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为.
故选:D.
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
8. 设全集为R,集合A=,B=,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 设定义域为的单调函数,对任意的,都有,若是方程的一个解,则可能存在的区间是
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
略
10. ”是“”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列命题:
①函数在上是减函数;
②设直线和圆相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是。
③已知随机变量服从正态分布,且,则
④定义运算=,则函数的图象在点处的切线方程是
其中所有正确命题的序号是_________(把所有正确命题的序号都写上).
参考答案:
②③④
12. 已知双曲线的渐近线与圆相切,则该双曲线的离心率是__________.
参考答案:
13. 已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称,则的取值集合是 .
参考答案:
14. 若的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64,则 ;该展开式中的常数项是 .
参考答案:
. -27
15. 总体编号为01,02,…19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 .
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
参考答案:
01
【考点】系统抽样方法.
【分析】根据随机数表,依次进行选择即可得到结论.
【解答】解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01,.其中第二个和第四个都是02,重复.
可知对应的数值为08,02,14,07,01,
则第5个个体的编号为01.
故答案为:01.
16. 过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点,若,且,则双曲线的离心率为__________.
参考答案:
17. 已知函数,则下列命题正确的是__________.
①函数的最大值为;②函数的图象与函数的图象关于轴对称;③函数的图象关于点对称;④若实数使得方程在上恰好有三个实数解,则;
参考答案:
②④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点,直线与轴相交于点,记,的面积分别是,.
(1)若,求点的纵坐标;
(2)求的最小值.
参考答案:
解:
(1)因为,
.
由,得
即,得
(2)设直线:,则,由,知.
联立,消去得,则,.
所以,
,
点到直线的距离.
所以
故当时,有最小值.
方法2:设(),则,所以直线:,则.
又直线:,.
则点到直线的距离为,
点到直线的距离为
所以.
故当时,有最小值.
19. (本题满分12分)设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
参考答案:
解 (1)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0,…………2分
∵f′(x)=3ax2+b的最小值为-12,∴b=-12,……………………4分
又直线x-6y-7=0的斜率为,
因此,f′(1)=3a+b=-6,
∴a=2,b=-12,c=0.………………………………………………6分
(2)单调递增区间是(-∞,-)和(,+∞).……………………9分
f(x)在[-1,3]上的最大值是18,最小值是-8.……………………12分
略
20. (12分)
随着农村城市化进程的加快,厦门郊区某村计划实施“金包银”工程.对失地农民规定每人第一年可以到村里领取原收入的100%,从第二年起,以后每年只能在村里领取上一年的.环绕村庄四周的“金边”第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%.设某人原年收入为元,实施“金包银”工程后第年总收入为元.
(1)求;
(2)当时,这个人哪一年收入最少?最少收入是多少?
(3)试求最小的值,使此人在实施“金包银”工程后的年收入不低于实施前的收入.
参考答案:
解析:(1)该农民第年可从村里领取元,……………………………………………1分
第年“金边”可收入元, ……………………2分
所以, ………………………………3分
(2)当时, ………………………………4分
当时,,…………………………6分
等号当且仅当时成立,
所以,当时,取得最小值.…………………7分
(3)因为,,所以,欲使对所有恒成立只需对恒成立即可. ……8分
……………………10分
因为当时,取得最大值,所以,,……………………11分
即当时,可使此人在实施“金包银”工程后的收入不低于实施前的收入,故最小的值为 .…………12分
21. (10分)(2015秋?拉萨校级期末)已知三角形△ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,8).
(1)求BC边上的高所在直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程.
【专题】直线与圆.
【分析】(1)根据B与C的坐标求出直线BC的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1,求出BC边上的高所在直线的斜率,然后由A的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可;
(2)由B和C的坐标,利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标,然后利用中点坐标和A的坐标写出直线的两点式方程即可.
【解答】解:(1)BC边所在直线的斜率为…(1分)
则BC边上的高所在直线的斜率为…(3分)
由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为:y﹣0=6(x﹣4)
化简得:y=6x﹣24…(5分)
(2)设BC的中点E(x0,y0),
由中点坐标公式得,
即点…(7分)
由直线的两点式方程可知直线AE的方程为:…(9分)
化简得:…(10分)
【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的条件,灵活运用中点坐标公式化简求值,是一道综合题.
22. (本题满分12分)在如图的多面体中,平面AEB,(I)求证:AB//平面DEG;
(II)求二面角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:∵,∴.
又∵,是的中点,
∴,
∴四边形是平行四边形,∴ . ……………………………2分
∵平面,平面, ∴平面. ……………4分
(Ⅱ)解∵平面,平面,平面,
∴,,
又,∴两两垂直.
以点E为坐标原点,以所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系. …………………6分
由已知得,(0,0,2),(2,0,0),
(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2).…………7分
由已知得是平面的法向量. ……8分
设平面的法向量为,
∵,
∴,即,令,得. …………………10分
设二面角的大小为,由图知为钝角,
∴,
∴二面角的余弦值为 …………………12分
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