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2022年广东省清远市佛冈县第一小学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( )
A.3π B.6π C.12π D.24π
参考答案:
B
2. 命题“”的否定是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点,若,则的中点到轴的距离等于( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
试题分析:设AB的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、F、D,如图所示,由EF为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出 EF,则 EH=EF-1 为所求.
抛物线 焦点(1,0),准线为 l:x=-1,设AB的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、F、D,EF交纵轴于点H,如图所示:则由EF为直角梯形的中位线知, 则AB的中点到y轴的距离等于4.故选D.
考点:抛物线的简单性质
4. 已知复数,则“”是“为纯虚数”的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
参考答案:
A
时, 是纯虚数; 为纯虚数时=0,解出.选A.
5. 某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )
A.4种 B.10种 C.18种 D.20种
参考答案:
B
6. 设随机变量服从正态分布,
A 0.7 B 0.4 C 0.2 D 0.15
参考答案:
C
7. 设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
C
略
8. 等差数列的前项和为的值( )
A.18 B.20 C.21 D.22
参考答案:
B
9. 执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=
. . . .
参考答案:
D
输入;时:;
时:;时:;
时:输出 . 选D.
10. 下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图,则图中空白框内应填入( )
A. q= B q=
C q= D.q=
5.
参考答案:
D.
根据第一个条件框易知M是及格的人数,N是不及格的人数,而空白处是要填写及格率的计算公式,所以.故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设Sn为等差数列{an}的前n项和,若,,则的值为_____.
参考答案:
【分析】
先由可求出,再由因式分解可求出d,然后求出,套公式即可求出
【详解】解:因
所以
又因为
所以
所以,
所以
故答案为:
【点睛】本题考查了等差数列的性质,等差数列前n项和,属于基础题.
12. 已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
(0,1)∪(1,2)
【考点】函数的零点与方程根的关系. [来源:Z,xx,k.Com]
【专题】函数的性质及应用.
【分析】函数y===,如图所示,可得直线y=kx与函数y=的图象相交于两点时,直线的斜率k的取值范围.
【解答】解:函数y===,
如图所示:
故当一次函数y=kx的斜率k满足0<k<1 或1<k<2时,
直线y=kx与函数y=的图象相交于两点,
故答案为 (0,1)∪(1,2).
【点评】本题主要考查函数的零点的定义,函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,
属于基础题.
13. 若实数x,y满足则2x-y的最大值为 .
参考答案:
5
14. 如图,三棱锥的所有顶点都在一个球面上,在△ABC中,AB=,∠ACB=60?,∠BCD=90?,AB⊥CD,CD=,则该球的体积为 .
参考答案:
以△ABC所在平面为球的截面,则由正弦定理得截面圆的半径为,依题意得CD⊥平面ABC,故球心到截面的距离为,则球的半径为.所以球的体积为.
15. 在[﹣1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交”发生的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件的k,最后根据几何概型的概率公式可求出所求.
【解答】解:圆(x﹣5)2+y2=9的圆心为(5,0),半径为3.
圆心到直线y=kx的距离为,
要使直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交,则<3,解得﹣<k<.
∴在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交相交的概率为=.
故答案为:.
16. 如图,是可导函数,直线是曲线在处的切线,令,则 ;
参考答案:
17. 数列 的首项为1,数列为等比数列且,若,则 .
参考答案:
1024
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. ( 本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.己知csin A= acos C.
(1)求C;
(2)若c=,且,求△ABC的面积.
参考答案:
解:(1)由正弦定理,得,
因为解得. ……6分
(2)由得 ,
若,, ……8分
若,
由余弦定理,得,解得a=1,b=3.
.综上, △ABC的面积为或. ……12分
19. 已知若.
(I)求函数的最小正周期;
(II)若求函数的最大值和最小值.
参考答案:
解:(I)………(5分)
函数的最小正周期为……………………………(7分)
(II)则………………(11分)
函数的最大值为,最小值为.……………………………(13分)
20. (2017?白山二模)已知函数f(x)=|x﹣m|﹣1.
(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥t﹣2对一切实数x恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
【分析】(1)求得不等式f(x)≤2的解集,再根据不等式f(x)≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5},求得实数m的值.
(2)由题意可得g(x)=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2,求得g(x)=|x﹣2|+|x+3|的最小值,可得t的范围.
【解答】解:(1)由f(x)≤2得,|x﹣m|≤3,解得m﹣3≤x≤m+3,
又已知不等式f(x)≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5},∴,解得m=2.
(2)当m=2时,f(x)=|x﹣2|﹣1,由于f(x)+f(x+5)≥t﹣2对一切实数x恒成立,
则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立,即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立,
设g(x)=|x﹣2|+|x+3|,
于是,
所以当x<﹣3时,g(x)>5;当﹣3≤x≤2时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5.
综上可得,g(x)的最小值为5,∴t≤5,
即t的取值范围为(﹣∞,5].
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想,属于中档题.
21. (本小题满分10分)
已知向量 ,记
(I)若 ,求 的值;
(Ⅱ)将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象,若函数 在 上有零点,求实数k的取值范围
参考答案:
【知识点】向量与三角函数 C3 F3
(I)1(II) 解析:(I)由已知得,于是
(II)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则因为,所以,所以,若函数在上的最大值为,最小值为0.
【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式,再根据三角函数的性质求出函数的取值.
22. 四棱锥S﹣ABCD,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠DAB=135°,BC=2,SB=SC=AB=2,F为线段SB的中点.
(1)求证:SD∥平面CFA;
(2)求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小.
参考答案:
解:(Ⅰ)连接BD,交AC于E,连接EF.
,………………………………………3分
又平面,SD平面CFA,SD平面CFA…………6分
(Ⅱ)取BC的中点O,连接SO.
因为侧面底面,,平面
又,故建立如图所示的坐标系,
则,,,,
,,,.………………………………8分
设平面的法向量,
则,令,得…………10分
设平面的法向量,则
,得.………11分
设平面与平面SAB所成的锐二面角为,则,
故所成锐二面角的余弦值为.……………………12分
略
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