2022年安徽省阜阳市董门中学高三数学文期末试题含解析

2022年安徽省阜阳市董门中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，，则与图像在区间内交点的个数为（  ） A、               B、               C、                D、 参考答案： 记，，在区间上单调递增，，在区间上没有零点； 2. 右图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是 A．12.5  12.5               B. 13    13 C．13.5  12.5               D. 13.5 13 参考答案： B 3. 函数的零点所在的区间是（    ）     A．  B．  C．   D． 参考答案： B 4. 在等比数列中，若，与的等比中项为，则的最小值为                                                           （   ） A．4 B． C．8 D．16 参考答案： C 5. 等比数列中，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件          B．必要不充分条件 C．充要条件       D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 或，得不到 因此“”是“”的充分不必要条件，选A.   6. 已知向量等于 （    ） A.30° B.45° C.60° D.75° 参考答案： B 7. 已知方程﹣=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，∞） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可． 【解答】解：方程﹣=1表示双曲线， 可得（2+m）（m+1）＞0，解得m∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）． 故选：C． 8. 已知集合，，则（    ） A．   B．   C．  D． 参考答案： D 9. 已知集合，则（   ） A．   B．   C．   D． 参考答案： A 10. 已知数列中，，且数列是等差数列，则等于 A．            B．             C．5                D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数，则下列命题中正确命题的序号有     ▲      ． ①当时，函数在R上是单调增函数； ②当时，函数在R上有最小值； ③函数的图象关于点（0，c）对称；    ④方程可能有三个实数根． 参考答案： ①③④ 略 12. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 设向量,若，则实数__________. 参考答案： 3 略 13. 已知矩形ABCD的顶点都在半径R=4，球心为O的球面上，且AB=6,BC=,则棱锥O-ABCD的体积为_______________. 参考答案： 14. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取　　名学生． 参考答案： 40 【考点】分层抽样方法． 【专题】概率与统计． 【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果． 【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400， 由分层抽样原理，应抽取名． 故答案为：40 【点评】本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一． 15. 若曲线与直线（），所围成封闭图形的面积为，则           ． 参考答案： 考点：积分 由题知： 故答案为： 16. 某计算装置有一个数据入口A和一个运算出口B，从入口A输入一个正整数n时，计算机通过 循环运算，在出口B输出一个运算结果，记为f(n).计算机的工作原理如下：为默认值，f(n＋1) 的值通过执行循环体“f(n＋1)＝”后计算得出.则f(2)＝        ；当从入口A输入的正整 数n＝__      _时，从出口B输出的运算结果是.   参考答案： 略 17. 从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为                  参考答案： 本题主要考查等可能事件的概率与组合数的应用．难度较小． 从10位同学中选3位的选法有C，其中有甲无乙的选法有C，故所求的概率为＝． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知函数在、处分别取得极大值和极小值，记点. ⑴求的值； ⑵证明：线段与曲线存在异于、的公共点； 参考答案： 解法一：∵，依题意， ∴，（2分） 由，得（3分） 令，的单调增区间为和，（5分） ，单调减区间为（7分） 所以函数在处取得极值。 故（9分） 所以直线的方程为   （10分） 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    （11分） 令，易得，（13分） 而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点。（14分） 解法二：同解法一，可得直线的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  （10分） 由得  （11分） 解得        （13分） 所以线段与曲线有异于的公共点。  （14分） 19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥中， ,， ,,分别为的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案： (1)易知AB,AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB,AD, AP所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．设，则相关各点的坐标为：，，，,,.     ………2分 从而,＝，＝． 因为，所以·＝. 解得或(舍去)．                      ………4分 于是＝(，1，－1)，＝(，1,0)． 因为·＝－1＋1＋0＝0，所以⊥，即．    ………6分 (2)由(1)知，＝(,1,-2)，＝(0，2,-2)． 设是平面PCD的一个法向量，则 即 令，则＝(1，，)．                          ………9分 设直线EF与平面PCD所成角为，则 ＝|〈，〉|＝||＝. 即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为.                     ………12分 20. （本小题满分12分）已知函数f（x）= （I）求f（x）的最小正周期；  （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向下平移个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的‘2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求使g（x）>成立的x的取值集合．’ 参考答案： 21. 设{an}是单调递增的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知，且，，构成等差数列．  （1）求an及Sn； （2）是否存在常数．使得数列是等比数列?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1），（2）存在常数．使得数列是等比数列，详见解析 【分析】 （1）根据已知得到方程组，解方程组得q的值，即得及；（2）假设存在常数．使得数列是等比数列，由题得，解之即得，检验即得解. 【详解】（1）由题意得           ∴，                         ∴，   解得或 （舍）      所以， .                       （2）假设存在常数．使得数列是等比数列， 因为，，， 所以，解得，    此时                                  ，                  ∴存在常数．使得数列是首项为，公比为等比数列 ． 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，考查等比数列的前n项和的求法，考查等比数列的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22. 已知圆C的圆心C与点A（2，1）关于直线4x+2y﹣5=0对称，圆C与直线x+y+2=0相切． （Ⅰ）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1，1），M（﹣2，﹣2），求?的最小值； （Ⅱ）过点P（1，1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角． 【专题】直线与圆． 【分析】（Ⅰ）根据点与直线的对称性求出圆心，利用数量积的坐标公式即可求?的最小值； （Ⅱ）利用直线和圆的方程联立，结合直线的斜率公式即可得到结论． 【解答】解：Ⅰ）设圆心C（a，b），则A，C的中点坐标为（）， ∵圆心C与点A（2，1）关于直线4x+y﹣5=0， ∴， 解得， ∴圆心C（0，0）到直线x+y+2=0的距离r=， ∴圆C的方程为x2+y2=2． 设Q（x，y），则x2+y2=2， ?=（x﹣1，y﹣1）?（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2， 作直线l：x+y=0，向下平移此直线，当与圆相切时，x+y取得最小值， 此时切点坐标为（﹣1，﹣1）， ∴?的最小值﹣4． （Ⅱ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数， 故可设PA：y﹣1=k（x﹣1）， PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由， 得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0． 因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解， 故可得， 同理， 则==kOP ∴直线AB和OP一定平行． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合直线的对称性和直线的斜率公式是解决本题的关键．