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2022-2023学年福建省漳州市第二中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列四组中的f(x),g(x),表示同一个函数的是( ).
A.f(x)=1,g(x)=x0 B.f(x)=x-1,g(x)=-1
C.f(x)=x2,g(x)=()4 D.f(x)=x3,g(x)=
参考答案:
D
2. 设函数,则=
A.0 B.1 C.2 D.
参考答案:
A
3. 甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是( )
A.40万元 B.60万元 C.120万元 D.140万元
参考答案:
C
【考点】函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】应用题;数形结合;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】根据图象,在低价时买入,在高价时卖出能获得最大的利润.
【解答】解:甲在6元时,全部买入,可以买120÷6=20(万)份,在t2时刻,全部卖出,此时获利20×2=40万,
乙在4元时,买入,可以买(120+40)÷4=40(万)份,在t4时刻,全部卖出,此时获利40×2=80万,
共获利40+80=120万,
故选:C
【点评】本题主要考查函数的应用问题,读懂题意,建立数学模型是解决本题的关键.
4. 为了求函数的一个零点,某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值(精确度0.1)如下表所示
[KS5UKS5U.KS5U
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
1.5625
-0.8716
-0.5788
-0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
则方程的近似解(精确到0.1)可取为( )
A.1.32 B.1.39 C.1.4 D.1.3
参考答案:
C
考点:函数零点
【名师点睛】(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合函数的性质;③数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.
5. (4)若直线a∥直线b,且a∥平面,则b与平面的位置关系是( )
A、一定平行 B、不平行 C、平行或相交 D、平行或在平面内
参考答案:
D
略
6. 如图,每个函数图象都有零点,但不能用二分法求图中函数零点的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】二分法的定义.
【专题】函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】根据二分法求零点的原理可判断.
【解答】解:由二分法的定义可知若存在区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上连续,且f(a)?f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有零点.
显然A,B,D符合条件.对于C,由于f(x)≥0,故不存在区间[a,b]使得f(a)?f(b)<0.
故选C.
【点评】本题考查了二分法的定义,零点的存在性定理,属于基础题.
7. 已知在定义域R上是减函数,则函数y=f (|x+2|)的单调递增区间是( )
A.(-∞, +∞) B.(2, +∞) C.(-2, +∞) D(―∞, ―2)
参考答案:
D
8. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的表面积为( )
A.8+4 B.8+4 C.8+16 D.8+8
参考答案:
A
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知该几何体是三棱锥,由三视图求出棱长、判断出线面的位置关系,由条件和面积公式求出各个面的面积,加起来求出几何体的表面积.
【解答】解:根据三视图和题意知几何体是三棱锥P﹣ABC,
直观图如图所示:
D是AC的中点,PB⊥平面ABC,且PD=BD=2,
∴PB⊥AB,PB⊥BC,PB⊥BD,则PB=2,
∵底面△ABC是等腰三角形,AB=BC=2,AC=4,
∴PA=PC=2,
∴该几何体的表面积S==8+4,
故选A.
9. 若三点A(3,1),B(-2, b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足.若,
则( )
A.-2018 B. 0 C. 2 D. 50
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,则= .
参考答案:
-8
12. 已知函数f(x)=﹣x2+ax+b的值域为(﹣∞,0],若关x的不等式的解集为(m﹣4,m+1),则实数c的值为 .
参考答案:
21
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据题意,△=a2+4b=0;m﹣4与m+1为方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的两根;函数y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的对称轴为x===;可求出a,m的值,再求c.
【解答】解:由题意,函数f(x)=﹣x2+ax+b的值域为(﹣∞,0],
∴△=a2+4b=0 ①;
由不等式化简:x2﹣ax﹣b﹣﹣1<0
m﹣4与m+1为方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的两根;
m﹣4+m+1=a ②;
(m﹣4)(m+1)=﹣b﹣﹣1 ③;
函数y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的对称轴为x===;
所以 a=5;
由①②知:m=4,b=﹣;
由③知:c=21
故答案为:21
13. 已知函数,则= .
参考答案:
3
14. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为___________.
参考答案:
15. 等差数列中,,,则 .
参考答案:
21
16. 函数的对称中心的坐标为__________.
参考答案:
,解得,所以对称中心为 .
17. 设函数,则 .
参考答案:
3
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (9分)已知sinα+cosα=,且α∈(,π)
(Ⅰ)求tanα的值
(Ⅱ)求2sin2()﹣sin(α+)的值.
参考答案:
考点: 同角三角函数基本关系的运用.
专题: 三角函数的求值.
分析: (Ⅰ)把已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值,再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα﹣cosα的值,与已知等式联立求出sinα与cosα的值,即可求出tanα的值;
(Ⅱ)原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简,将cosα的值代入计算即可求出值.
解答: (Ⅰ)将sinα+cosα=①两边平方得:1+2sinαcosα=,即2sinαcosα=﹣,
∴(sinα﹣cosα)2=1﹣2sinαcosα=,
∵α∈(,π),∴sinα>0,cosα<0,即sinα﹣cosα>0,
∴sinα﹣cosα=②,
联立①②解得:sinα=,cosα=﹣,
则tanα=﹣;
(Ⅱ)∵cosα=﹣,
∴原式=1﹣cos2(+)﹣sin(α+)=1﹣cos(α+)﹣sin(α+)=1﹣cosα+sinα﹣sinα﹣cosα=1﹣cosα=.
点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
19. (10分)已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=2log2(1﹣x).
(1)求f(x)及g(x)的解析式;
(2)求g(x)的值域.
参考答案:
考点: 函数奇偶性的性质;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)由题意和函数奇偶性得:f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),令x取﹣x代入f(x)+g(x)=2log2(1﹣x)化简后,联立原方程求出f(x)和g(x),由对数的运算化简,由对数函数的性质求出函数的定义域;
(2)设t=1﹣x2,由﹣1<x<1得0<t≤1,利用对数函数的性质求出g(x)的值域.
解答: (1)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),
令x取﹣x代入f(x)+g(x)=2log2(1﹣x),①
得f(﹣x)+g(﹣x)=2log2(1+x),即﹣f(x)+g(x)=2log2(1+x),②
联立①②可得,f(x)=log2(1﹣x)﹣log2(1+x)=(﹣1<x<1),
g(x)=log2(1﹣x)+log2(1+x)=log2(1﹣x)(1+x)=(﹣1<x<1);
(2)设t=1﹣x2,由﹣1<x<1得0<t≤1,
所以函数y=log2t的值域是(﹣∞,0],
故g(x)的值域是(﹣∞,0].
点评: 本题考查函数奇偶性的应用,对数函数的性质、运算,以及方程思想和换元法求函数的值域.
20. (本小题满分12分)今日必看
在中,今日必看边上的高所在直线方程为的平分线所在直线的方程为,若点的坐标为,求点和点的坐标. 今日必看
参考答案:
解. 4分
即]今日必看 6分
又的平分线所在直线方程为
今日必看
今日必看 10分
由今日必看
即 12分
略
21. (本小题满分10分)(1)化简:
(2)若tanα=-3,求的值。
参考答案:
(1);(2)
解:(1)
或:
(2)
22. 记函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为常数,且a≠0).
(1)若a=1,f(b)=f(c)(b≠c),求f(2)的值;
(2)若b=1,c=﹣a时,函数y=f(x)在区间[1,2]上的最大值为g(a),求g(a).
参考答案:
【考点】二次函数的性质;函数的最值及其几何意义.
【专题】综合题;分类讨论;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)将a=1代入,结合f(b)=f(c)(b≠c),可得2b+c=0,进而得到答案;
(2)将b=1,c=﹣a代入,分析函数的图象和性质,进行分类讨论不同情况下,函数y=f(x)在区间[1,2]上的最大值,综合讨论结果,可得答案.
【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=x2+bx+c,
由f(b)=f(c),可得b2+b2+c=c2+bc+c,
即2b2﹣bc﹣c2=0,(b﹣c)(2b+c)=0,解得b=c或2b+c=0,
∵b≠c,
∴2b+c=0,
所以f(2)=4+2b+c=4.
(2)当b=1,c=﹣a时,,x∈[1,2],
①当a>0时,时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,
所以
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